[Matematica Discreta] Unione di sottogruppi
C'è qualcosa che non mi convince nel teorema 7.8 che enuncia la seguente tesi:
Se \(S\) e \(H\) sono due sottogruppi di \(G\), allora \(S \cup H\) non è sottogruppi di \(G\), tranne nel caso in cui \(H \subseteq S\) oppure \(S \subseteq H\).
Qualcono riuscirebbe ad spiegarmelo?
Se \(S\) e \(H\) sono due sottogruppi di \(G\), allora \(S \cup H\) non è sottogruppi di \(G\), tranne nel caso in cui \(H \subseteq S\) oppure \(S \subseteq H\).
Qualcono riuscirebbe ad spiegarmelo?
Risposte
Il forum presenta un sistema di inserimento formule che permette l’uso di latex. Per esempio
\( H \subseteq S \)viene rappresentato come \( H \subseteq S \). In genere aspettiamo qualche messaggio prima di richiedere il suo utilizzo, ma il tuo messaggio era già praticamente scritto con le formule. Modifico il tuo messaggio per metterle a posto.
Venendo al tuo problema. Il far riferimento ad un numero del teorema senza citare il libro è piuttosto inutile.
In ogni caso se \(s\in S\) e \(h\in H\) allora \(sh\) dove si trova? Se \(S\cup H \le G\) allora \(sh\in S\) oppure \(sh\in H \). Supponi si abbia \(sh\in S\) allora, essendo \(S \) un sottogruppo... Prova a continuare tu.
In ogni caso se \(s\in S\) e \(h\in H\) allora \(sh\) dove si trova? Se \(S\cup H \le G\) allora \(sh\in S\) oppure \(sh\in H \). Supponi si abbia \(sh\in S\) allora, essendo \(S \) un sottogruppo... Prova a continuare tu.
Allora sh non sarà contenuto in G?
\(G\) è chiuso per prodotti quindi non so che ragionamento hai fatto per arrivare a quella conclusione.
... \(s^{-1}sh \in S\). Da qui è immediata la tesi.
... \(s^{-1}sh \in S\). Da qui è immediata la tesi.
Continuo a non capire. Abbia pazienza 
Siccome \(s^{-1}sh = h\) allora il fatto che \(sh\in S\) implica che \(h\in S\). Similmente se \(\displaystyle sh\in H\) allora \(\displaystyle s\in S \).
Pertanto, supponi si abbia \(\displaystyle (S\cup H)\setminus H \neq \emptyset \) allora per ogni \(\displaystyle g \in(S\cup H)\setminus H \) e \(\displaystyle h\in H \) si dovrebbe avere \(\displaystyle gh\in S \), ma allora \(\displaystyle H\subseteq S \).
Similmente nel caso \(\displaystyle (S\cup H)\setminus S \neq \emptyset \).
Pertanto, supponi si abbia \(\displaystyle (S\cup H)\setminus H \neq \emptyset \) allora per ogni \(\displaystyle g \in(S\cup H)\setminus H \) e \(\displaystyle h\in H \) si dovrebbe avere \(\displaystyle gh\in S \), ma allora \(\displaystyle H\subseteq S \).
Similmente nel caso \(\displaystyle (S\cup H)\setminus S \neq \emptyset \).
Grazie ho capito ciò che lei vuole dire. Purtroppo a causa della mia poca dinamicita con la matematica non riesco a trovare la sua conclusione nella dimsotrazione del mio libro.
Dimostrazione del libro:
Sia a $in$ S - H e b $in$ H - S, facciamo vedere che ab $notin$ S $uu$ H . Supponiamo per assurdo che ab $in$ S $uu$ H, ad esempio ab $in$ S. Avremo ab = s per qualche s $in$ S. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $a^-1$ (si ricordi che $a^-1$ $in$ S), si avrebbe $a^-1$ab= $a^-1$ $in$ S, da cui b= $a^-1$s $in$ S. Ciò è assurdo perche b $notin$ S; analogamente se ab $in$ H si perviene ad un assurdo.
Dimostrazione del libro:
Sia a $in$ S - H e b $in$ H - S, facciamo vedere che ab $notin$ S $uu$ H . Supponiamo per assurdo che ab $in$ S $uu$ H, ad esempio ab $in$ S. Avremo ab = s per qualche s $in$ S. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $a^-1$ (si ricordi che $a^-1$ $in$ S), si avrebbe $a^-1$ab= $a^-1$ $in$ S, da cui b= $a^-1$s $in$ S. Ciò è assurdo perche b $notin$ S; analogamente se ab $in$ H si perviene ad un assurdo.
È la stessa cosa solo che avevo iniziato la dimostrazione senza l'assurdo quindi ho dovuto adattarla sul finale.
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