Matematica discreta e Algebra lineare

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Lascio 5 esercizi di Matematica discreta che non mi sono chiari.
Se avete voglia e tempo di rispondermi , fatelo in modo chiaro perchè sono preso un po'con le bombe.
Grazie.

1) Siano U , V , W spazi vettoriali sullo stesso campo K , e siano a:U-->V e b:V-->W due applicazioni lineari .
Cosa devo fare per dimostrare che b*a:U-->W è una applicazione lineare?

"(b*a) è la composizione di applicazioni"

2) Sia G un gruppo e g un suo elemento fissato , H = {h € G : h*g*h^-1 = g}
Cosa devo fare per dimostrare che H è un sottogruppo di G?

"* è il prodotto"

3) Scrivere 2 sottogruppi distinti di S4 , entrambi di ordine 4 ,
un sottogruppo non normale di S4 e 2 sottogruppi non isomorfi di S4 entrambi di ordine 4.

4) Dare un esempio esplicito in cui la legge di cancellazione del prodotto in un anello commutativo A
(ab=ac , con a diverso da 0 , implica b=c) non vale.
Dimostrare che se A è un dominio di integrità allora la legge vale

5) Se A è un dominio di integrità cosa significa il fatto che 2 elementi sono associati?

[ficus2002]

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1) Siano U , V , W spazi vettoriali sullo stesso campo K , e siano a:U-->V e b:V-->W due applicazioni lineari .
Cosa devo fare per dimostrare che b*a:U-->W è una applicazione lineare?

Devi dimostrare che per ogni $lambda, mu in K$ e ogni $u_1, u_2 in U$ è
$(b * a)(lambda u_1 + mu u_2)=lambda (b * a)(u_1)+mu (b * a)(u_2)$

2) Sia G un gruppo e g un suo elemento fissato , H = {h € G : h*g*h^-1 = g}
Cosa devo fare per dimostrare che H è un sottogruppo di G?

E' sufficiente verificare che per ogni $h,k in G$ è
$hk^(-1) in H$

3) Scrivere 2 sottogruppi distinti di S4 , entrambi di ordine 4 ,
un sottogruppo non normale di S4 e 2 sottogruppi non isomorfi di S4 entrambi di ordine 4.

I sottogruppi
$H=<(1234)>$$={I,(1234),(13)(24),(1432)}$
$K=<(12),(34)>$$={I,(12),(34),(12)(34)}$
sono distinti e non isomorfi. Il primo è ciclico, il secondo no. Inoltre
$(12)H={(12),(134),(1423),(243)} ne H(12)={(12),(234),(1324),(143)}$
dimostra che $H$ non è un sottogruppo normale di $S_4$.

4) Dare un esempio esplicito in cui la legge di cancellazione del prodotto in un anello commutativo A
(ab=ac , con a diverso da 0 , implica b=c) non vale.
Dimostrare che se A è un dominio di integrità allora la legge vale

In $ZZ_6$ si ha che $3*2=3*4$ con $3 ne 0$, ma $2 ne 4$.

Se $A$ è un dominio, allora, da $ab=ac$ segue che $a(b-c)=0$. Poichè $A$ è privo di divisori dello zero e $a ne 0$, è $b-c=0$ ossia $b=c$.

5) Se A è un dominio di integrità cosa significa il fatto che 2 elementi sono associati?

Due elementi $a,b in A$ sono associati se e solo se esiste un elemento unitario $u in A$ tale che $a=ub$

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Grazie per l'aiuto ma non capisco alcuni simboli usati che mi rallentano la compressione , tipo $ ...
Se hai tempo di spiegarmeli a passi e a parole mi fai un favore.
Ciao

[ficus2002]

"Empty Head":tipo $ ...

quali simboli non hai capito?

[Empty Head]

il $.
Cmq guarda se hai tempo stasera , domani o anche domenica , spiegameli un po' perchè non ho capito tutto ciò che hai scritto.
Grazie

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Inserisco un ulteriore esercizio :

Sia r:G-->T un omomorfismo di gruppi e sia K={g € G | r(g) = 1T} il kernel di r.

1) Dimostrare che K è un sottogruppo di G
2) Dimostrare che è un sottogruppo normale

Se riuscite a mettermi le dimostrazioni intere vi ringrazio.