Mat. discr. - Applicazione lineare
Salve ragazzi,
il problema è di teoria e mi chiede questo:
Mentre su altre domande più o meno sapevo mettere mano, ora non so proprio da dove cominciare per formulare la risposta..
Come cavolo si deve fare??.. Un grazie in anticipo a tutti quelli che mi risponderanno!!
il problema è di teoria e mi chiede questo:
Saper definire un'applicazione lineare con un dato nucleo e una data immagine.
Mentre su altre domande più o meno sapevo mettere mano, ora non so proprio da dove cominciare per formulare la risposta..
Come cavolo si deve fare??.. Un grazie in anticipo a tutti quelli che mi risponderanno!!
Risposte
Ultimamente sta diventando una domanda gettonatissima : viewtopic.php?f=37&t=119061 
Edit.: Correggo una un mancato spazio tra due termini, ovvero Ultimamentesta
Edit.: Correggo una un mancato spazio tra due termini, ovvero Ultimamentesta
In realtà il link qui sopra non risponde all'OP il quale pare (?) si stia ponendo una domanda del tipo: "fissati" due sottospazi vettoriali di un certo s.v. \(V\) su di un corpo \(C\) bla bla bla, esiste un'applicazione lineare che abbia come immagine il primo sottospazio e come nucleo il secondo? E se sì, tale applicazione è unica?
A me pare che chieda solo la "definizione";
non fa nessun riferimento alla nozione di esistenza ed unicità di un'applicazione lineare.
Ma visto che studi matematica, metto in preventivo che tu possa aver inteso meglio ciò che l'utente chiede
e ti passo volentieri la mano.
non fa nessun riferimento alla nozione di esistenza ed unicità di un'applicazione lineare.
Ma visto che studi matematica, metto in preventivo che tu possa aver inteso meglio ciò che l'utente chiede
e ti passo volentieri la mano.
Di solito gli enunciati dei problemi, in Matematica, sono precisi, e pertanto non vengono fornite informazioni supplementari, se non appunto esplicitamente necessarie. Quindi, nel nostro caso, la chiamata in causa di nucleo e immagine è un campanello d'allarme, giacché questi due oggetti vengono definiti, nello sviluppo della teoria (almeno di norma!), a posteriori (cfr. qui, pag. 67).
Adesso sono di fretta e non ho tempo, ma non appena rientrerò in possesso del mio pc darò un contributo più costruttivo al thread.
Adesso sono di fretta e non ho tempo, ma non appena rientrerò in possesso del mio pc darò un contributo più costruttivo al thread.
Tranquillo, fai pure con comodo; intanto ti apro propedeuticamente il campo.
Immaginiamo di avere due spazi vettoriali $V,W$, entrambi definiti su un campo $\mathbb{K}$, e supponiamo di avere un'applicazione o funzione
$F:V\to W$.
Un'applicazione tra spazi vettoriali si dice lineare se soddisfa tre semplicissime condizioni (in realtà vedremo in seguito una sola
):
1. (lo zero nello zero). $F:\underline{0}\in V\to \underline{0}\in W$, ossia $F$ manda lo zero di $V$ nello zero di $W$:
$F(\underline{0})=\underline{0}$
dove $(\underline{0}$ indica il vettore nullo).
2. (Somma nella somma). Dati due vettori $v_1,v_2\in V$, l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini:
$F(v_1+v_2)=F(v_1)+F(v_2)$
3. (Prodotto per uno scalare nel prodotto per uno scalare).
Dato $v\in V$ e dato uno scalare (elemento del campo $\mathbb{K}) \alpha\in \mathbb{K}$, l'immagine del prodotto di $v$ per lo scalare è uguale al prodotto dello scalare per l'immagine
$F(\alpha v)=\alpha F(v)$
Come accennato in precedenza, in realtà possiamo inglobare le $3$ condizioni, per essere più sintetici.
Infatti se $\forall \alpha \in\mathbb{K}$ risulta che
$F(\alpha v)=\alpha F(v)$
allora prendendo $\alpha=0$ abbiamo $F(\underline{(0)})=0\cdot F(v)=\underline{0}$, ossia $F(\underline{0})=\underline{0}$.
Volendo possiamo essere ancora più laconici richiedendo che sia soddisfatta quella che chiameremo condizione di linearità:
per ogni $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$ e per ogni $v_1,v_2\in V$ risulta che
$F(\alpha v_1+\beta v_2)=\alpha F(v_1)+\beta F(v_2)$
In termini pratici, per verificare se una data applicazione è lineare oppure no, si tratta semplicemente di controllare se essa soddisfa la condizione di linearità.
il procedimento da seguire convoglia:
Step 1: bisogna vedere se vale la condizione di linearità, quindi si parte da
$F(av_1+bv_2)$
Step 2: si svolgono le varie operazioni algebriche, tenendo sempre ben presente dove si vuole arrivare...
Step 3: si tentano eventuali raccoglimenti e riscritture che permettono di arrivare a
$aF(v_1)+bF(v_2)$
Dunque un'applicazione è lineare se è lineare
, cioè se si comporta bene rispetto alla somma di vettori e al prodotto di vettori rispetto ad uno scalare, ovvero se è definita mediante operazioni lineari: somma di variabili al primo grado, senza che siano sommate costanti.
Immaginiamo di avere due spazi vettoriali $V,W$, entrambi definiti su un campo $\mathbb{K}$, e supponiamo di avere un'applicazione o funzione
$F:V\to W$.
Un'applicazione tra spazi vettoriali si dice lineare se soddisfa tre semplicissime condizioni (in realtà vedremo in seguito una sola
):1. (lo zero nello zero). $F:\underline{0}\in V\to \underline{0}\in W$, ossia $F$ manda lo zero di $V$ nello zero di $W$:
$F(\underline{0})=\underline{0}$
dove $(\underline{0}$ indica il vettore nullo).
2. (Somma nella somma). Dati due vettori $v_1,v_2\in V$, l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini:
$F(v_1+v_2)=F(v_1)+F(v_2)$
3. (Prodotto per uno scalare nel prodotto per uno scalare).
Dato $v\in V$ e dato uno scalare (elemento del campo $\mathbb{K}) \alpha\in \mathbb{K}$, l'immagine del prodotto di $v$ per lo scalare è uguale al prodotto dello scalare per l'immagine
$F(\alpha v)=\alpha F(v)$
Come accennato in precedenza, in realtà possiamo inglobare le $3$ condizioni, per essere più sintetici.
Infatti se $\forall \alpha \in\mathbb{K}$ risulta che
$F(\alpha v)=\alpha F(v)$
allora prendendo $\alpha=0$ abbiamo $F(\underline{(0)})=0\cdot F(v)=\underline{0}$, ossia $F(\underline{0})=\underline{0}$.
Volendo possiamo essere ancora più laconici richiedendo che sia soddisfatta quella che chiameremo condizione di linearità:
per ogni $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$ e per ogni $v_1,v_2\in V$ risulta che
$F(\alpha v_1+\beta v_2)=\alpha F(v_1)+\beta F(v_2)$
In termini pratici, per verificare se una data applicazione è lineare oppure no, si tratta semplicemente di controllare se essa soddisfa la condizione di linearità.
il procedimento da seguire convoglia:
Step 1: bisogna vedere se vale la condizione di linearità, quindi si parte da
$F(av_1+bv_2)$
Step 2: si svolgono le varie operazioni algebriche, tenendo sempre ben presente dove si vuole arrivare...
Step 3: si tentano eventuali raccoglimenti e riscritture che permettono di arrivare a
$aF(v_1)+bF(v_2)$
Dunque un'applicazione è lineare se è lineare
, cioè se si comporta bene rispetto alla somma di vettori e al prodotto di vettori rispetto ad uno scalare, ovvero se è definita mediante operazioni lineari: somma di variabili al primo grado, senza che siano sommate costanti.
O mio dio!!.. solo ora ho letto tutte le vostre risposte.. scusatemi se non vi ho risposto prima, ma sappiate che non è stato per colpa mia.. xD .. comunque, questa è una domanda di teoria (farò l'orale breve, cioè mi faranno 2 domande prese da una lista di 62, e io sto nel panico più totale xD... Quindi credo che @Delirium (non so se si possono taggare gli altri utenti del forum) abbia ragione a pensare che sia del tipo: [...] "fissati" [...]; in realtà non lo riesco a capire neanche io.. la prof non ci ha detto niente e quindi si brancola un po' nel buio... grazie a tutti delle risposte!!:)
Non ti preoccupare, stai tranquillo per l'esame ed in bocca al lupo .
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