Massimo comun divisore 2

[ZetaFunction1]

Mostrare che, se il massimo comun divisore tra $a$ e $b$, definito come $(a,b)$, è uguale a 1, allora

$(a+b,\frac{a^p+b^b}{a+b})= 1 $ oppure $p$.

Dove $p$ è un numero primo diverso da 2.

[ZetaFunction1]

E' così difficile?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sia [tex]M = (a+b,\frac{a^p+b^p}{a+b})[/tex]. Riducendo modulo [tex]a+b[/tex] si ha

[tex]M = (a+b,a^{p-1}-a^{p-2}b+ \cdots +b^{p-1}) \equiv (a+b,a^{p-1}+\cdots+a^{p-1}) = (a+b,pa^{p-1})[/tex].

Siccome [tex]a,b[/tex] sono coprimi, [tex]p[/tex] non divide entrambi. Supponiamo senza perdita in generalità che [tex]p[/tex] non divida [tex]a[/tex]. Allora siccome [tex](x,-)[/tex] è una funzione moltiplicativa (nel senso che [tex](x,yz) = (x,y)(x,z)[/tex] se [tex]y,z[/tex] sono coprimi),

[tex]M \equiv (a+b,pa^{p-1}) = (a+b,p) \cdot (a+b,a^{p-1})[/tex].

Mostriamo che [tex](a+b,a^{p-1})=1[/tex]. Se non fosse così esisterebbe un numero primo [tex]q[/tex] che divide [tex]a+b[/tex] e [tex]a^{p-1}[/tex], quindi anche [tex]a[/tex] e quindi anche [tex](a+b)-a=b[/tex], assurdo dato che [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sono coprimi.

Ne segue che [tex]M \equiv (a+b,p)[/tex] modulo [tex]a+b[/tex], e quindi [tex]M = (a+b,p)[/tex].

[ZetaFunction1]

Grazie... però non riesco a cogliere i primi due passaggi.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Che sia [tex]\frac{a^p+b^p}{a+b} = a^{p-1}-a^{p-2}b+ \cdots +b^{p-1}[/tex] è un fatto elementare, segue dall'uguaglianza polinomiale

[tex]X^n+1 = (X+1)(X^{n-1}-X^{n-2}+X^{n-3}-\cdots-X+1)[/tex]

dove [tex]n[/tex] è un numero dispari, che si dimostra coll'algoritmo di divisione di Ruffini, per esempio.

Nel passaggio successivo ho ridotto modulo [tex]a+b[/tex], osservando che [tex]b \equiv -a[/tex] modulo [tex]a+b[/tex] e quindi i termini [tex]a^{p-i}b^{i-1}[/tex] ridotti diventano [tex](-1)^{i-1} a^{p-1}[/tex]. Poi usando il fatto che [tex]p[/tex] è dispari [Modifico: in realtà non serve che [tex]p[/tex] sia dispari qui] si ottengono termini positivi, quindi risulta [tex]a^{p-1}+\cdots+a^{p-1} = pa^{p-1}[/tex].

[ZetaFunction1]

Ancora non sono arrivato alla parte riguardo le congruenze: il fatto del $p$ dispari come influisce? (In effetti andrebbe risolto senza far uso di congruenze).

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ho modificato il mio intervento sopra. Se [tex]p[/tex] è pari allora [tex]p=2[/tex] e fallisce la divisione polinomiale, non è vero che [tex]X^2+1 = (X+1)(X-1)[/tex]. Perché [tex]X^n+1[/tex] abbia [tex]-1[/tex] come radice (cioè [tex]X+1[/tex] come fattore) bisogna che [tex]n[/tex] sia dispari.

Se vuoi ricevere altri input ti consiglio di essere più specifico sulle cose che sai e che puoi usare.

[ZetaFunction1]

Infatti il testo specifica che $n$ non può essere 2. Comunque le conosco le congruenze, solo che questi tipo di esercizi richiedono dimostrazioni che facciano uso al più degli elementari teoremi sulla divisibilità.