Massimale in Q[x] e irriducibilità
Buongiorno a tutti.
In un esame di algebra mi sono imbattuto nel seguente problema:
Si dica per quali $k in NN$ l’ideale $(x^3 - 2^kx -3)$ è un ideale massimale di $QQ[x]$
Il mio primo ragionamento è stato che essendo $QQ[x]$ un PID sarà necessario trovare i $k$ per i quali $x^3 - 2^kx -3$ risulta essere irriducibile.
Non riuscendo però a proseguire ho pensato di ridurre tutto modulo 5, lavorare in $ZZ_5[x]$, poiché l'ho ridotto ad un polinomio primitivo la sua irriducibilità in $ZZ_5[x]$ dovrebbe garantirmela anche in $QQ[x]$, giusto?
Questo metodo mi ha portato ad avere come unici $k$ accettabili $k=1,4$ $mod(5)$, ma mi pare poco convincente.
Tra l'altro cosa succede se prendo $k=3$? Cioè il polinomio diventa $x^3 - 8x -3$ che ridotto modulo 5 non è nemmeno più primitivo??
La mia domanda è: quale è il metodo "corretto" o più veloce/semplice per risolvere il problema? e più in generale, come devo approcciare l'irriducibilità in $QQ[x]$?
Spero riuscirete a risolvere i miei dubbi, soprattutto a livello teorico. Grazie in anticipo!
In un esame di algebra mi sono imbattuto nel seguente problema:
Si dica per quali $k in NN$ l’ideale $(x^3 - 2^kx -3)$ è un ideale massimale di $QQ[x]$
Il mio primo ragionamento è stato che essendo $QQ[x]$ un PID sarà necessario trovare i $k$ per i quali $x^3 - 2^kx -3$ risulta essere irriducibile.
Non riuscendo però a proseguire ho pensato di ridurre tutto modulo 5, lavorare in $ZZ_5[x]$, poiché l'ho ridotto ad un polinomio primitivo la sua irriducibilità in $ZZ_5[x]$ dovrebbe garantirmela anche in $QQ[x]$, giusto?
Questo metodo mi ha portato ad avere come unici $k$ accettabili $k=1,4$ $mod(5)$, ma mi pare poco convincente.
Tra l'altro cosa succede se prendo $k=3$? Cioè il polinomio diventa $x^3 - 8x -3$ che ridotto modulo 5 non è nemmeno più primitivo??
La mia domanda è: quale è il metodo "corretto" o più veloce/semplice per risolvere il problema? e più in generale, come devo approcciare l'irriducibilità in $QQ[x]$?
Spero riuscirete a risolvere i miei dubbi, soprattutto a livello teorico. Grazie in anticipo!
Risposte
Ok riflettendoci di nuovo stamani a mente fresca, ho pensato che provando a sostituire tutti i possibili candidati ossia ${+-1,+-3}$ e vedere uno ad uno i k accettabili, e mettere assieme il risultato finale..
così facendo trovo che il polinomio è irriducibile $AA k!=2,3$
sarebbe questo un metodo accettabile?
la mia domanda precedente resta però aperta, questo metodo non sarebbe attuabile se il termine noto avesse qualche divisore in più e quindi non lo ritengo un metodo generalmente valido.
così facendo trovo che il polinomio è irriducibile $AA k!=2,3$
sarebbe questo un metodo accettabile?
la mia domanda precedente resta però aperta, questo metodo non sarebbe attuabile se il termine noto avesse qualche divisore in più e quindi non lo ritengo un metodo generalmente valido.
Il secondo metodo è corretto.
Infatti quello è un polinomio in $Q[ x ]$ di grado 3 dunque è irriducibile se e solo se non ha divisori di primo grado in $Q[ x ] $, ed essendo $Q$ un campo questo accade se e solo se il polinomio non ha radici in $Q$. Poiché il polinomio ha coefficienti in $Z$ ed è monico le eventuali radici sono $a \in Z$ tale che $a$ divide il termine noto $3$ ( Questo fatto è dimostrato nelle dispense che hai usato
) Non ho fatto i conti ma basta sostituire e scartare i $k$ per cui quelle sono radici.
Infatti quello è un polinomio in $Q[ x ]$ di grado 3 dunque è irriducibile se e solo se non ha divisori di primo grado in $Q[ x ] $, ed essendo $Q$ un campo questo accade se e solo se il polinomio non ha radici in $Q$. Poiché il polinomio ha coefficienti in $Z$ ed è monico le eventuali radici sono $a \in Z$ tale che $a$ divide il termine noto $3$ ( Questo fatto è dimostrato nelle dispense che hai usato
) Non ho fatto i conti ma basta sostituire e scartare i $k$ per cui quelle sono radici.
Grazie per la risposta, i passaggi e le proprietà che hai descritto sono esattamente i ragionamenti che ho fatto anche io.
Per informazione voglio far presente che cercando qua e là su internet ho notato che wikipedia propone, stranamente, una procedura risolutiva piuttosto valida e chiara al problema da me posto.. chi l'avrebbe mai detto!
Per informazione voglio far presente che cercando qua e là su internet ho notato che wikipedia propone, stranamente, una procedura risolutiva piuttosto valida e chiara al problema da me posto.. chi l'avrebbe mai detto!
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