Maggiorante e massimo

[DR1]

Qual'è la differenza tra maggiorante e massimo,
rispettivamente,
tra
M = maggiorante $ iff EE \ M in RR : a <= M \ \ AA a in A $
e
M = massimo $ iff M in A ^^ a <= M \ \ AA a in A $

[kobeilprofeta]

Il massimo appartiene all'insieme $A$, il maggiorante può essere al di fuori dell'insieme.

Prendiamo $A$ l'insieme dei voti presi da una classe superiore in una verifica
Il maggiorante puo essere $11$ o $10,51718...$ il massimo è $10$ perche è un voto prendibile e nessuno può essere più grande di esso. (a parte il 10 e lode )

*??????*

[gugo82]

@ DR1: Basta leggere attentamente le definizioni.

Sia \(A\subseteq \mathbb{R}\).
Un elemento \(\alpha\in \mathbb{R}\) è detto maggiorante dell'insieme \(A\) se esso non è più piccolo di alcun elemento di \(A\), ossia se risulta:
\[
\forall a\in A,\quad a\leq \alpha\; .
\]

Sia \(A\subseteq \mathbb{R}\).
Si dice che un \(M \in \mathbb{R}\) è il massimo di \(A\) se \(\alpha\) è contemporaneamente un elemento di \(A\) ed un maggiorante di \(A\), ossia se risulta:
\[
\begin{cases}
M \in A\; , \\
\forall a\in A,\quad a\leq M\; .
\end{cases}
\]

Domanda: l'insieme vuoto, \(\varnothing\), ha maggioranti?

Esercizio: dimostrare che se \(A\) è dotato di massimo, allora tale massimo è unico.

[DR1]

Grazie siete stati chiarissimi.
Se ho capito bene l'insieme vuoto ha infiniti maggioranti e minoranti, ma nessun massimo e minimo.
Qualora esistano, massimo e minimo di un insieme sono unici.
Dimostrazione: se $ M $ e $ M^1$ sono massimi di $ A $, allora $ M <= M^1 ^^ M^1 <= M $ , perchè sono entrambi elementi di $A$ , per la proprietà antisimmetrica di cui gode la relazione d'ordine su $RR$ segue $M = M^1$.
EDIT: se il maggiorante non appartiene all'insieme, quel'è la sua utilità ?