Maggiorante di un insieme

[MaxwellD]

Mi è venuto un dubbio studiando la definizione data da Dedekind dei numeri reali, come l'insieme delle partizioni di Q. Ora, poniamo il caso di scegliere come sottoinsieme di Q non vuoti A e B

$A=\{ x \in QQ | x2 \}$ , $B=\{ x \in QQ | x \ge 2 \}$

Sui libri di algebra trovo scritto che A non ammette massimo, mentre B ammette minimo.
Ora anche se intuitivamente mi va bene, rifacendomi alla definizione di massimo e minimo, qualcosa non mi torna; in particolare prendendo in esame il sottoinsieme A, per definizione il massimo dovrebbe essere il più piccolo dei maggioranti di A.

Ora, il maggiorante io so che è $x \in QQ$, se per ogni $a \in A$, $a \leq x$
Quello che mi sfugge è cosa impedisce perciò che anche in A, vi sia un elemento che rispetti le condizioni sopra esposte per x... Perchè, poniamo in questo esempio, 2 deve necessariamente essere il più piccolo maggiorante di A e non può esserlo invece il numero più grande fra gli elementi di A, che appunto risulterà uguale (rispetto a se stesso) o maggiore rispetto a tutti gli altri elementi di A ?

Sicuramente o mi sono perso in un bicchier d'acqua o ho sparato una ca***** madornale, ma chi può darmi un chiarimento?

[Seneca1]

Premetto che non ho letto tutto attentamente. Volevo farti notare che:

"MaxwellD":per definizione il massimo dovrebbe essere il più piccolo dei maggioranti di $A$.

è sbagliato. L'estremo superiore è il minimo dei maggioranti; se poi appartiene all'insieme $A$, allora è anche il massimo.

[Sk_Anonymous]

Come dice Seneca, l'estremo superiore, che è il minimo dei maggioranti, di $A$ può anche non appartenere ad $A$ stesso, in tal caso non puoi chiamarlo massimo.

"MaxwellD":Ora, il maggiorante io so che è $x \in QQ$, se per ogni $a \in A$, $a \leq x$
Quello che mi sfugge è cosa impedisce perciò che anche in A, vi sia un elemento che rispetti le condizioni sopra esposte per x...

Supponiamo per assurdo che esista un elemento $x$ appartenente ad $A$ che sia anche maggiorante di $A$.
Dato che $x\in A$ deve necessariamente valere $x<2$. Quindi esiste un numero razionale $\varepsilon$ tale che $x+\varepsilon=2$. Inoltre $\varepsilon/2\in\mathbb{Q}$. Ma $x+\varepsilon/2\in A$ e $x+\varepsilon/2>x$, contro l'ipotesi che $x$ sia maggiorante di $A$.

[MaxwellD]

"Alfius":Come dice Seneca, l'estremo superiore, che è il minimo dei maggioranti, di $A$ può anche non appartenere ad $A$ stesso, in tal caso non puoi chiamarlo massimo.

[quote="MaxwellD"]Ora, il maggiorante io so che è $x \in QQ$, se per ogni $a \in A$, $a \leq x$
Quello che mi sfugge è cosa impedisce perciò che anche in A, vi sia un elemento che rispetti le condizioni sopra esposte per x...

Supponiamo per assurdo che esista un elemento $x$ appartenente ad $A$ che sia anche maggiorante di $A$.
Dato che $x\in A$ deve necessariamente valere $x<2$. Quindi esiste un numero razionale $\varepsilon$ tale che $x+\varepsilon=2$. Inoltre $\varepsilon/2\in\mathbb{Q}$. Ma $x+\varepsilon/2\in A$ e $x+\varepsilon/2>x$, contro l'ipotesi che $x$ sia maggiorante di $A$.[/quote]
Grazie innanzitutto a entrambi per la correzione della mia definizione, comunque quello che cercavo era proprio una dimostrazione per assurdo di questo tipo, che "intuivo" essere qualcosa del genere ma non riuscivo a individuare! Devo ancora farne di strada