Ma cosa sono veramente gli autovettori ed autovalori ?
credo di aver capito vagamente come si trovino:
- prendo la matriceora $A-\lambdaI$
- ne calcolo il detterminante ed ottengo il pol catatteristico in $\lambda$ di grado $n$.
- trovo le radici del mio plinomioottenerndo gli autovalori.
- per ogni autovalore risolvo il sistema $(A-\lambdaI)u = 0$ ed ottengo gli autovettori associato a $\lambda$.
ora che credo di aver un idea di come si trovino ... mi vieene spontanea una domanda la quale fino a 2 mesi fa nn mi sarrei posto, avrei semplicemente detto "a cosa mi servira' mai nella vita? so calcolarli, non so cosa sono ma tanto passato l'esame nn me li chiede piu' nessuno !!". Ora pero' non so per quale ragione comincio sempre piu 'spesso a chiedermi (specialemtne per la matematica): "che cosa siano le cose che faccio, a che servono, come e dove si possono applicare, ecc ?". So che un autovettore è un vettore shiftato (in qualche direzione) mentre l'autovettore è il coeficiente che lo shifta. Un esempio pratico di questa cosa? dove si verificano cose del genere? centra con la mecanica quantistica? (ne so poco di mec quantistica ma potrebbe centrare visto che si parla di movimenti che cambiano a ... random dirrei x andare da A a B ??) Spesso i libri sono pieni di nozioni teoriche e ripetono sempre le stesse definizioni che non hanno molta rapresentazione nella realta' ed ancora peggio (secondo me) non riprendono esempi della realta' ... proppongono esercizi ed uno si trova a fare calcoli senza sapere cos'è. Almeno qst è purtroppo la mia situazione.
Grazie a tutti !!
- prendo la matriceora $A-\lambdaI$
- ne calcolo il detterminante ed ottengo il pol catatteristico in $\lambda$ di grado $n$.
- trovo le radici del mio plinomioottenerndo gli autovalori.
- per ogni autovalore risolvo il sistema $(A-\lambdaI)u = 0$ ed ottengo gli autovettori associato a $\lambda$.
ora che credo di aver un idea di come si trovino ... mi vieene spontanea una domanda la quale fino a 2 mesi fa nn mi sarrei posto, avrei semplicemente detto "a cosa mi servira' mai nella vita? so calcolarli, non so cosa sono ma tanto passato l'esame nn me li chiede piu' nessuno !!". Ora pero' non so per quale ragione comincio sempre piu 'spesso a chiedermi (specialemtne per la matematica): "che cosa siano le cose che faccio, a che servono, come e dove si possono applicare, ecc ?". So che un autovettore è un vettore shiftato (in qualche direzione) mentre l'autovettore è il coeficiente che lo shifta. Un esempio pratico di questa cosa? dove si verificano cose del genere? centra con la mecanica quantistica? (ne so poco di mec quantistica ma potrebbe centrare visto che si parla di movimenti che cambiano a ... random dirrei x andare da A a B ??) Spesso i libri sono pieni di nozioni teoriche e ripetono sempre le stesse definizioni che non hanno molta rapresentazione nella realta' ed ancora peggio (secondo me) non riprendono esempi della realta' ... proppongono esercizi ed uno si trova a fare calcoli senza sapere cos'è. Almeno qst è purtroppo la mia situazione.
Grazie a tutti !!
Risposte
Gli autovalori sono definiti come i valori del campo K che "fissano" l'endomorfismo tra due spazi vettoriali. Gli autovettori sono le direzioni invarianti dell'endomorfismo (che possono essere viste come trasformazioni dello spazio). Le matrici sono isomorfe all'insieme delle trasformazioni di un campo vettoriale, che in parole più semplici vuol dire che ogni matrice corrisponde a una trasformazione e viceversa.
Per esempio in una rotazione in 3d l'asse di rotazione è un autovettore della trasformazione con autovalore 1.
Per esempio in una rotazione in 3d l'asse di rotazione è un autovettore della trasformazione con autovalore 1.
vediamo se ho afferato qualcosa ...
in pratica servono a definire/definiscono una regola ("fissano") il legame tra 2 elementi appartenenti ad uno stesso spazzio vettoriale?
il che vuoldire che l'autovettore è uno o piu' vettori che stanno fermi mentre gli altri che si muovono non sono autovettori ?
esempio:
se un astronave viaggia nello spazio e in un certo punto ha un vettore $V_1 = (1,5,4,2)$ che rispettivamente stanno per: direzione X, direzione Y, direzione Z, velocità. (li ho scritti giu' così ... giusto per avere un modello di riferimento ...anche se magari i fisici mi veranno a cercare a casa ber bastonarmi).
Dopo un tot dei tempo passando accanto ad un pianeta la gravita' dello stesso altra la direzzione e velocita' dell'astronave in: $V_2 = (1,2,6,1)$ ... questo centra con gl iautovettori? o la mia è una cazzata colossale?
"vict85":
Gli autovalori sono definiti come i valori del campo K che "fissano" l'endomorfismo tra due spazi vettoriali.
in pratica servono a definire/definiscono una regola ("fissano") il legame tra 2 elementi appartenenti ad uno stesso spazzio vettoriale?
"vict85":
Gli autovettori sono le direzioni invarianti dell'endomorfismo (che possono essere viste come trasformazioni dello spazio).
Per esempio in una rotazione in 3d l'asse di rotazione è un autovettore della trasformazione con autovalore 1.
il che vuoldire che l'autovettore è uno o piu' vettori che stanno fermi mentre gli altri che si muovono non sono autovettori ?
esempio:
se un astronave viaggia nello spazio e in un certo punto ha un vettore $V_1 = (1,5,4,2)$ che rispettivamente stanno per: direzione X, direzione Y, direzione Z, velocità. (li ho scritti giu' così ... giusto per avere un modello di riferimento ...anche se magari i fisici mi veranno a cercare a casa ber bastonarmi).
Dopo un tot dei tempo passando accanto ad un pianeta la gravita' dello stesso altra la direzzione e velocita' dell'astronave in: $V_2 = (1,2,6,1)$ ... questo centra con gl iautovettori? o la mia è una cazzata colossale?
"BoG":
vediamo se ho afferato qualcosa ...
[quote="vict85"]Gli autovalori sono definiti come i valori del campo K che "fissano" l'endomorfismo tra due spazi vettoriali.
in pratica servono a definire/definiscono una regola ("fissano") il legame tra 2 elementi appartenenti ad uno stesso spazzio vettoriale? [/quote]
scusa, la frase che ti ho scritto non ha senso... ogni tanto devo pensare e non scrivere di getto. Gli autovalori sono i valori $lambda$ per cui esistono dei vettori $bbv$ per cui $f(bbv)=lambdabbv$ dove f è una trasformazione lineare.
"BoG":
[quote="vict85"]Gli autovettori sono le direzioni invarianti dell'endomorfismo (che possono essere viste come trasformazioni dello spazio).
Per esempio in una rotazione in 3d l'asse di rotazione è un autovettore della trasformazione con autovalore 1.
il che vuoldire che l'autovettore è uno o piu' vettori che stanno fermi mentre gli altri che si muovono non sono autovettori ?[/quote]
vuol dire che dopo la trasformazione lineare i punti in quella direzione rimangono in quella direzione e vengono scalati dell'autovalore collegato al vettore.
Non capisco in realtà cosa intendi con l'esempio
un esempio concreto: se hai una rotazione e trovi gli autovettori quelli sono i vettori attorno a cui avviene la rotazione (gli assi della rotazione in $RR^3$ cioè i punti fissati dalla rotazione...)
"fu^2":
un esempio concreto: se hai una rotazione e trovi gli autovettori quelli sono i vettori attorno a cui avviene la rotazione (gli assi della rotazione in $RR^3$ cioè i punti fissati dalla rotazione...)
hmmm ... quindi una trottola che gira ... il suo autovettore è l'asse Y (verticale) visto che ci ruota attorno... giusto?
"vict85":
Gli autovalori sono i valori λ per cui esistono dei vettori v per cui f(v)=λv dove f è una trasformazione lineare.
(vediamo se la sparo di nuovo) ... gli autovettori sono valori che mi permettono di trovare un endomorfismo su un campo K (sempre se esiste)??
sarebbe l'asse z l'asse della trottola visto che siamo il 3d comunque si il concetto è quello, però la rotazione formalmente la applichi a tutto lo spazio tenendo fissa l'asse z.... e quindi ruoti sul piano xy (sarebbe se ristretto al piano xy una rotazione intorno a un punto che in 3d diventa intorno all'asse z)
capito !! ... credo e spero ..
grazie
grazie
Fra le altre cose la teoria degli autovettori e degli autovalori è legato al problema della diagonalizzazione di una matrice.
Mi è venuto un altro esempio.
Prendi una molla bloccata da un lato e posizionata lungo l'asse x. Consideriamo la funzione spostamento. Questa funzione avrà autovettori lungo gli altri assi con autovalore 1 e autovettori lungo l'asse x con autovalore uguale all'estensione della molla.
Un fisico forse è capace di inventarseli di migliori...
Comunque come dice enomis spesso gli autovettori servono nella diagonalizzazione delle matrici e quindi compaiono spesso quando si usano matrici (e in fisica quantistica si usano particolari gruppi di matrici).
Prendi una molla bloccata da un lato e posizionata lungo l'asse x. Consideriamo la funzione spostamento. Questa funzione avrà autovettori lungo gli altri assi con autovalore 1 e autovettori lungo l'asse x con autovalore uguale all'estensione della molla.
Un fisico forse è capace di inventarseli di migliori...
Comunque come dice enomis spesso gli autovettori servono nella diagonalizzazione delle matrici e quindi compaiono spesso quando si usano matrici (e in fisica quantistica si usano particolari gruppi di matrici).
grazias 
... sto cominciando a farmene una rappresentazione che non sia solo $\lambda$ o $V_n = (x_1, x_2,...ù)$
... sto cominciando a farmene una rappresentazione che non sia solo $\lambda$ o $V_n = (x_1, x_2,...ù)$
"BoG":
[quote="fu^2"]un esempio concreto: se hai una rotazione e trovi gli autovettori quelli sono i vettori attorno a cui avviene la rotazione (gli assi della rotazione in $RR^3$ cioè i punti fissati dalla rotazione...)
hmmm ... quindi una trottola che gira ... il suo autovettore è l'asse Y (verticale) visto che ci ruota attorno... giusto?
"vict85":
Gli autovalori sono i valori λ per cui esistono dei vettori v per cui f(v)=λv dove f è una trasformazione lineare.
(vediamo se la sparo di nuovo) ... gli autovettori sono valori che mi permettono di trovare un endomorfismo su un campo K (sempre se esiste)??[/quote]
Prima l'avevo sparata io, non tu... comunque no. Gli autovettori sono vettori e non valori e quindi hanno direzione, verso e modulo... Gli autovettori sono vettori che hanno come immagine rispetto all'endomorfismo (di spazi vettoriali) un loro multiplo e gli autovalori sono i valori per i quali vengono moltiplicati (fisicamente sarebbe una deformazione in quella direzione o una inversione).
Tornando alla rotazione della trottola se l'autovalore legato all'autovettore è diverso da 1 la trottola viene "deformata" dalla trasformazione, volendo fisicamente si può pensare come ad una deformazione dovuta alla rotazione.
"vict85":
Prima l'avevo sparata io, non tu... comunque no. Gli autovettori sono vettori e non valori e quindi hanno direzione, verso e modulo...
si scusa mi ero espresso male io, ho scritto male le parole
... "vict85":
Tornando alla rotazione della trottola se l'autovalore legato all'autovettore è diverso da 1 la trottola viene "deformata" dalla trasformazione, volendo fisicamente si può pensare come ad una deformazione dovuta alla rotazione.
vuoi dire che se ci sono autovalori diversi da 1 vuoldire che l'autovettore ad esso associato si "deforma" ?
"BoG":
[quote="vict85"]
Prima l'avevo sparata io, non tu... comunque no. Gli autovettori sono vettori e non valori e quindi hanno direzione, verso e modulo...
si scusa mi ero espresso male io, ho scritto male le parole
... "vict85":
Tornando alla rotazione della trottola se l'autovalore legato all'autovettore è diverso da 1 la trottola viene "deformata" dalla trasformazione, volendo fisicamente si può pensare come ad una deformazione dovuta alla rotazione.
vuoi dire che se ci sono autovalori diversi da 1 vuoldire che l'autovettore ad esso associato si "deforma" ?[/quote]
A deformarsi è il corpo ad esso collegato se è un corpo rigido come una trottola ma altrimenti è solo uno scalamento.
Per capirci se prendiamo un punto dello spazio affine euclideo (quello normale) e la sua scomposizione $bbv = (x_0,y_0,z_0)$ se $bbu_x$, il versore legato all'asse $x$, è un autovettore della trasformazione $f$ con autovalore $lambda$ allora l'immagine di $bbv\ \ \ f(bbv)$ corrisponde al punto $(lambdax_0,y_1,z_1)$ dove $y_1$ e $z_1$ dipendono dalla trasformazione.
capito ... danke
... danke
Un esempio che forse potrà tornare utile:
qualche tempo fa si parlò si questo forum di un esercizio che proponeva di trovare la matrice associata ad una riflessione di $RR^3$ di asse un piano. Una trasformazione che manda ogni punto dello spazio tridimensionale nel suo simmetrico rispetto ad un piano passante per l'origine.
Tornano utili le nozioni di autovalore e autovettore perché si può trovare una di queste matrici senza fare calcoli. Infatti noi siamo sicuri che, comunque prendiamo un vettore del piano, la trasformazione lo lascia fisso. E perciò abbiamo 2 vettori lin.ind. (due direzioni del piano) che sono autovettori di autovalore 1. Se prendiamo il vettore normale al piano, questo viene invertito: perciò è un autovettore di autovalore -1. Possiamo già concludere che rispetto ad una base costruita con questo criterio, la matrice della trasformazione è $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$.
Più in generale se di una trasformazione (supponiamo in $RR^3$) lineare conosci un autovettore, allora scegliendolo come primo vettore di una base, la matrice della trasformazione su quella base è qualcosa del genere $((\lambda,*,*),(0,*,*),(0,*,*))$, con $lambda$ il corrispondente autovalore.
qualche tempo fa si parlò si questo forum di un esercizio che proponeva di trovare la matrice associata ad una riflessione di $RR^3$ di asse un piano. Una trasformazione che manda ogni punto dello spazio tridimensionale nel suo simmetrico rispetto ad un piano passante per l'origine.
Tornano utili le nozioni di autovalore e autovettore perché si può trovare una di queste matrici senza fare calcoli. Infatti noi siamo sicuri che, comunque prendiamo un vettore del piano, la trasformazione lo lascia fisso. E perciò abbiamo 2 vettori lin.ind. (due direzioni del piano) che sono autovettori di autovalore 1. Se prendiamo il vettore normale al piano, questo viene invertito: perciò è un autovettore di autovalore -1. Possiamo già concludere che rispetto ad una base costruita con questo criterio, la matrice della trasformazione è $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$.
Più in generale se di una trasformazione (supponiamo in $RR^3$) lineare conosci un autovettore, allora scegliendolo come primo vettore di una base, la matrice della trasformazione su quella base è qualcosa del genere $((\lambda,*,*),(0,*,*),(0,*,*))$, con $lambda$ il corrispondente autovalore.
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