[logica] esercizio sulle relazioni

BeNdErR
Ciao a tutti :D

Ho il seguente esercizio da proporvi:

Si dice che una relazione $R$ è irriflessiva $sse$ $AAx.notR(x,x)$, $R$ è asimmetrica $sse$ $AAx.AAy.(R(x,y) ->notR(y,x))$, $R$ è intransitiva $sse$ $AAx.AAy.AAz.((R(x,y)^^R(y,z))->notR(x,z))$.

1) Si esprima la condizione affinché una relazione $R$ non sia né riflessiva né irriflessiva
2) si esprima la condizione affinché una relazione $R$ non sia né simmetrica né ansimmetrica
3) si esprima la condizione affinché una relazione $R$ non sia né transitiva né intransitiva

Io ho risolto nel seguente modo:
1) visto che non dev'essere né riflessiva né irriflessiva in teoria non deve valere per nessun $x$, quindi $notEEx.(R(x,x)^^notR(x,x))$
2) $notEEx.notEEy((R(x,y)->R(y,x))^^(R(x,y)->notR(y,x))$
3) $notEEx.notEEy.notEEz.(((R(x,y)^^R(y,z))->R(x,z))^^((R(x,y)^^R(y,z))->notR(x,z)))$

può andare come soluzione secondo voi?

Grazie in anticipo

Risposte
adaBTTLS1
prova a scrivere \$not\$ anziché quel simbolo illeggibile.

ti rispondo in parte. i vari casi sono analoghi.
riflessiva significa che ogni elemento è in relazione con se stesso, cioè $AA x$ vale la proprietà $R(x,x)$
antiriflessiva significa che nessun elemento è in relazione con se stesso, cioè $AA x$ non vale la proprietà $R(x,x)$
per non essere né riflessiva né antiriflessiva devono esserci degli elementi per cui vale la proprietà di essere in relazione con se stessi ed altri elementi per cui la stessa proprietà non vale.
non mi pare che tu affermi questa cosa.

BeNdErR
uhm.. dovevo mostrare che per alcuni elementi una proprietà vale e per altri no?

ad esempio, nel 1° caso: $EEx.EEy.(R(x,x)^^notR(y,y))$

giusto? però non capisco perchè, nel senso, se non dev'essere né uno né l'altro, se per alcuni elementi vale una delle due allora vuol dire che o è riflessiva o è irriflessiva..

adaBTTLS1
non riflessiva: non per tutti gli x vale R (cioè esiste qualche x per cui non vale)
non antiriflessiva: non per tutti gli x non vale R (cioè esiste qualche x per cui vale)
né riflessiva né antiriflessiva: devono valere entrambe le affermazioni dei due righi precedenti, quindi ...

BeNdErR
ho provato a cercare un esempio e ho trovato questo:

La relazione R è definita nell'insieme $A={2,3,4,5,6,8}$ nel seguente modo

$R={(x,y)| x × y è multiplo di 4}$

La relazione è l'insieme formato dalle seguenti coppie:
$R={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(6,2),(6,4),(6,6),(6,8),(8,2),(8,4),(8,6),(8,8)}$
Abbiamo già visto che la relazione non è riflessiva, ma non è neppure antiriflessiva perché esistono elementi in relazione con se stessi, ad esempio il $4$.

ritornando al nostro discorso, se devo far valere la riflessiva per alcuni e far valere l'antiriflessiva per altri, questi $x$ devono essere diversi tra loro? cioè:
$EEx.(R(x,x)^^notR(x,x))$ oppure $EEx.EEy.(R(x,x)^^notR(y,y))$

grazie ancora

ps: come faccio a scrivere del testo all'interno dei simboli di formula (il dollaro) ? in modo che esca in blu, e non venga formattato intendo..

adaBTTLS1
il testo va tra virgolette. inoltre non usare parole accentate, non scrivere "è" ma "e' " se è all'interno di una formula.

l'esempio va bene.
quanto alla domanda specifica, a parte la frase che la precede (detta così non ha senso), certo che devono essere diversi.
anche se fosse possibile che ci siano degli elementi per cui valgano entrambe le proprietà, non riferendoti solo a questi ipotetici elementi, dovresti comunque usare due parametri diversi.

BeNdErR
ottimo, grazie mille! il dubbio mi era venuto perchè 3 o 4 post fa avevo interpretato una tua risposta come un "hai sbagliato", invece era solo la risposta alla domanda che avevo fatto.

dunque, per completare l'esercizio:
1) $EEx.EEy.(R(x,x)^^notR(x,y))$
2) $EEx.EEy((R(x,y) ->R(y,x))^^(R(x,y)->notR(x,y)))$
3) $EEx.EEy.EEz.(((R(x,y)^^R(y,z))->R(x,z))^^((R(x,y)^^R(y,z))->notR(x,z)))$

ora dovrebbero essere giuste no?

grazie ancora

adaBTTLS1
analogamente al primo caso, in cui invece che un parametro ne servono due, anche negli altri due casi i parametri "raddoppiano" dovendo affermare che per alcune cose vale una proprietà e per altre il contrario ...

prego!

BeNdErR
"adaBTTLS":
analogamente al primo caso, in cui invece che un parametro ne servono due, anche negli altri due casi i parametri "raddoppiano" dovendo affermare che per alcune cose vale una proprietà e per altre il contrario ...


:smt119 vero..

1) $EEx.EEy.(R(x,x)^^notR(x,y))$
2) $EEx.EEy.EEz.EEk((R(x,y) ->R(y,x))^^(R(z,k)->notR(k,z)))$
3) $EEx.EEy.EEz.EEk.EEg.EEp(((R(x,y)^^R(y,z))->R(x,z))^^((R(k,g)^^R(g,p))->notR(k,p)))$

ora dovremmo esserci :D

grazie dell'aiuto :)

adaBTTLS1
prego.
sì, più o meno ci siamo, anche se non è corretto l'uso dell'implicazione (io sarei più per la $^^$ che per la $->$), anche perché stai rappresentando solo degli esempi (dicendo $EE$), ed inoltre la "tabella logica" dell'implicazione può trarre in inganno ...

più precisamente, dire che non vale l'implicazione non significa che vale l'implicazione contraria.
ma veniamo ai dettagli: riporto le tue definizioni e mi concentro questa volta sulle proprietà simmetrica e antisimmetrica.
Si dice che una relazione $R$ è irriflessiva $sse$ $AAx.notR(x,x)$, $R$ è asimmetrica $sse$ $AAx.AAy.(R(x,y) ->notR(y,x))$, $R$ è intransitiva $sse$ $AAx.AAy.AAz.((R(x,y)^^R(y,z))->notR(x,z))$.

chiamiamo $P(x,y)$ la proprietà "vale l'implicazione $(R(x,y) -> R(y,x))$" e $Q(x,y)$ la proprietà "vale l'implicazione $R(x,y) ->notR(y,x))$"
dire che una relazione non è né simmetrica né antisimmetrica si traduce, usando notazioni simili alle tue,

$EEx.EEy.EEz.EEk(not (P(x,y))^^not(Q(z,k)))$

inoltre, se ricordi, $A->B$ è equivalente a $notAvvB$, quindi la negazione dell'implicazione è $not(notAvvB) -= A^^notB$ che non è l'implicazione contraria.


fammi sapere che cosa ne pensi. ciao.

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