[LOGICA] Esercizio operazioni su insiemi
Ciao a tutti, non mi sono chiari alcuni passaggi di questo esercizio (segnalati in foto con la stella).
Correggetemi se sbaglio
; inizio a svolgere l'esercizio considerando che se B è sottoinsieme di A allora A - B è uguale all'insieme complementare di B rispetto ad A (stesso ragionamento per B-A) quindi procedo riscrivendo il tutto come$ (A ∩ cB) ∪ (B ∩ cA) $
Poi applico la regola di distributività e arrivo al passaggio 3 dove mi blocco. La soluzione fa scomparire la seconda e la terza parentesi del passaggio precedente ma non capisco il perché. Immagino che mi sono perso qualche regola per strada!!
Poi lui applica De Morgan e via fino agli ultimi due passaggi dove scompare il complementare da $(B ∩ A) $ (PERCHé?!?!?!) e viene invertito $(B ∩ A) $ che diventa $(A ∩ B) $ PERCHé!?!?!
Risposte
"MatematiNO":
... inizio a svolgere l'esercizio considerando che se B è sottoinsieme di A allora...
Io però non vedo questa ipotesi nell'esercizio del quale hai postato lo screenshot.
"G.D.":
[quote="MatematiNO"]... inizio a svolgere l'esercizio considerando che se B è sottoinsieme di A allora...
Io però non vedo questa ipotesi nell'esercizio del quale hai postato lo screenshot.[/quote]
L'ho dato per scontato perché era una sottrazione e potevo collegarla alla definizione di Insieme Complementare
Non mi veniva nient'altro in mente 
Innanzitutto dati due insiemi \( S \) e \( T \) la differenza \( S \setminus T \) (risp. \( T \setminus S \)) non si definisce richiedendo che sia \( T \subseteq S \) (risp. \( S \subseteq T \)): questa è l'ipotesi aggiuntiva che permette di introdurre il concetto di complementare di un insieme in un altro insieme.
Inoltre nella traccia dell'esercizio si dice chiaramente
Il collegamento con il concetto di insieme complementare ovviamente c'è ma non è quello. Il collegamento con il concetto di insieme complementare è nella prima riga della dimostrazione e consiste in questo fatto: \( A \setminus B = A \cap \complement B \), dove \( \complement B \) è il complementare di \( B \) nell'universo dal quale sono presi \( A \) e \( B \). Ma bada bene che la validità di tale uguaglianza prescinde dal fatto che sia \( B \subseteq A \).
Inoltre nella traccia dell'esercizio si dice chiaramente
Verificare che per ogni coppia di insiemi \( A \) e \( B \)...
Il collegamento con il concetto di insieme complementare ovviamente c'è ma non è quello. Il collegamento con il concetto di insieme complementare è nella prima riga della dimostrazione e consiste in questo fatto: \( A \setminus B = A \cap \complement B \), dove \( \complement B \) è il complementare di \( B \) nell'universo dal quale sono presi \( A \) e \( B \). Ma bada bene che la validità di tale uguaglianza prescinde dal fatto che sia \( B \subseteq A \).
"G.D.":
Innanzitutto dati due insiemi \( S \) e \( T \) la differenza \( S \setminus T \) (risp. \( T \setminus S \)) non si definisce richiedendo che sia \( T \subseteq S \) (risp. \( S \subseteq T \)): questa è l'ipotesi aggiuntiva che permette di introdurre il concetto di complementare di un insieme in un altro insieme.
Inoltre nella traccia dell'esercizio si dice chiaramente
Verificare che per ogni coppia di insiemi \( A \) e \( B \)...
Il collegamento con il concetto di insieme complementare ovviamente c'è ma non è quello. Il collegamento con il concetto di insieme complementare è nella prima riga della dimostrazione e consiste in questo fatto: \( A \setminus B = A \cap \complement B \), dove \( \complement B \) è il complementare di \( B \) nell'universo dal quale sono presi \( A \) e \( B \). Ma bada bene che la validità di tale uguaglianza prescinde dal fatto che sia \( B \subseteq A \).
Ah ok, grazie mille per il chiarimento!
Per caso saresti cosi gentile da spiegarmi anche i dubbi citati nel primo post sul resto dell'esercizio?
Innanzitutto ti è chiaro perché \( A \setminus B = A \cap \complement B \)?
"G.D.":
Innanzitutto ti è chiaro perché \( A \setminus B = A \cap \complement B \)?
No
come detto prima, credevo fosse collegato al concetto di sottrazione / Insieme Complementare
Per risolvere questo esercizio nel modo in cui è stato risolto nello screenshot che proponi, occorre conoscere alcuni semplici fatti relativi alle operazioni tra insiemi.
La dimostrazione è la seguente
\[
\begin{split}
( A \setminus B ) \cup ( B \setminus A ) &\overset{1}{=} \left ( A \cap \complement B \right ) \cup \left ( B \cap \complement A
\right) \\
&\overset{2}{=} \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup \complement A \right ) \cap
\left ( \complement B \cup B \right ) \cap \left ( \complement B \cup
\complement A \right ) \\
&\overset{3}{=} \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( \complement B \cup \complement A
\right ) \\
&\overset{4}{=} \left ( A \cup B \right ) \cap \complement \left ( B \cap A \right ) \\
&\overset{5}{=} \left ( A \cup B \right ) \setminus \left( B \cap A \right ) \\
&\overset{6}{=} \left ( A \cup B \right ) \setminus \left ( A \cap B \right )
\end{split}
\]
(1) È stato usato il fatto che dati due insiemi qualunque \( S \) e \( T \) in un universo[nota]Va da sé che l'universo di cui si parla qui non è da intendersi come concetto assoluto, i.e. come l'insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi possibili, poiché tale concetto (messo giù così) conduce a paradossi, ma piuttosto come un insieme ambiente dal quale è possibile prendere sia \( S \) che \( T \) come sottoinsiemi di tale ambiente.[/nota] \( U \), si ha che \( S \setminus T = S \cap \complement T \). La dimostrazione di questo fatto è semplice: se \( x \in S \setminus T \), allora \( x \in S \) e \( x \notin T \); se \( x \notin T \), allora, poiché sicuramente \( x \in U \), si ha \( x \in \complement T \); a questo punto, essendo anche \( x \in S \), in definitiva \( x \in S \cap \complement T \). Viceversa se \( x \in S \cap \complement T \), allora \( x \in S \) e \( x \in U \) ma \( x \notin T \), quindi \( x \in S \setminus T \). Nella fattispecie \( A \setminus B = A \cap \complement B \) e \( B \setminus A = B \cap \complement A \).
(2) È stata usata più volte la proprietà distributiva dell'unione sull'intersezione.
(3) Per "rimuovere" \( \displaystyle \left ( A \cup \complement A \right ) \cap \left ( B \cup \complement B \right ) \) sono stati usati due fatti: dato un qualunque insieme \( S \) in un dato universo \( U \) si ha che \( S \cup \complement S = U \) e \( S \cap U = S \). Nella fattispecie si ha \( A \cup \complement A = U = B \cup \complement B \), quindi la seconda riga si riduce a \( \displaystyle \left ( A \cup B \right ) \cap U \cap U \cap \left ( \complement B \cup \complement A \right ) \), da cui la terza riga.
(4) È stata usata la versione insiemistica delle regole di De Morgan.
(5) È stata usata nuovamente la proprietà già usata in (1) con \( S = A \cup B \) e \( T = B \cap A \).
(6) È stata usata la proprietà commutativa dell'intersezione per riscrivere \( B \cap A \) come \( A \cap B \) al fine di ritrovare esattamente il RHS dell'uguaglianza data da provare in traccia.
La dimostrazione è la seguente
\[
\begin{split}
( A \setminus B ) \cup ( B \setminus A ) &\overset{1}{=} \left ( A \cap \complement B \right ) \cup \left ( B \cap \complement A
\right) \\
&\overset{2}{=} \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( A \cup \complement A \right ) \cap
\left ( \complement B \cup B \right ) \cap \left ( \complement B \cup
\complement A \right ) \\
&\overset{3}{=} \left ( A \cup B \right ) \cap \left ( \complement B \cup \complement A
\right ) \\
&\overset{4}{=} \left ( A \cup B \right ) \cap \complement \left ( B \cap A \right ) \\
&\overset{5}{=} \left ( A \cup B \right ) \setminus \left( B \cap A \right ) \\
&\overset{6}{=} \left ( A \cup B \right ) \setminus \left ( A \cap B \right )
\end{split}
\]
(1) È stato usato il fatto che dati due insiemi qualunque \( S \) e \( T \) in un universo[nota]Va da sé che l'universo di cui si parla qui non è da intendersi come concetto assoluto, i.e. come l'insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi possibili, poiché tale concetto (messo giù così) conduce a paradossi, ma piuttosto come un insieme ambiente dal quale è possibile prendere sia \( S \) che \( T \) come sottoinsiemi di tale ambiente.[/nota] \( U \), si ha che \( S \setminus T = S \cap \complement T \). La dimostrazione di questo fatto è semplice: se \( x \in S \setminus T \), allora \( x \in S \) e \( x \notin T \); se \( x \notin T \), allora, poiché sicuramente \( x \in U \), si ha \( x \in \complement T \); a questo punto, essendo anche \( x \in S \), in definitiva \( x \in S \cap \complement T \). Viceversa se \( x \in S \cap \complement T \), allora \( x \in S \) e \( x \in U \) ma \( x \notin T \), quindi \( x \in S \setminus T \). Nella fattispecie \( A \setminus B = A \cap \complement B \) e \( B \setminus A = B \cap \complement A \).
(2) È stata usata più volte la proprietà distributiva dell'unione sull'intersezione.
(3) Per "rimuovere" \( \displaystyle \left ( A \cup \complement A \right ) \cap \left ( B \cup \complement B \right ) \) sono stati usati due fatti: dato un qualunque insieme \( S \) in un dato universo \( U \) si ha che \( S \cup \complement S = U \) e \( S \cap U = S \). Nella fattispecie si ha \( A \cup \complement A = U = B \cup \complement B \), quindi la seconda riga si riduce a \( \displaystyle \left ( A \cup B \right ) \cap U \cap U \cap \left ( \complement B \cup \complement A \right ) \), da cui la terza riga.
(4) È stata usata la versione insiemistica delle regole di De Morgan.
(5) È stata usata nuovamente la proprietà già usata in (1) con \( S = A \cup B \) e \( T = B \cap A \).
(6) È stata usata la proprietà commutativa dell'intersezione per riscrivere \( B \cap A \) come \( A \cap B \) al fine di ritrovare esattamente il RHS dell'uguaglianza data da provare in traccia.
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