Logica e teoria degli insiemi
Ho letto su una pagina internet di un'università fra i consigli alle matricole di matematica che se si difetta di logica consigliano di studiare teoria degli insiemi. Mi potreste per favore spiegare il motivo?
Detto questo, ho provato a scaricare il manuale e ho trovato il Teorema fondamentale dell'aritmetica: Ogni numero naturale n>1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.
Non c'era però la dimostrazione. Come idea di partenza come vi sembra la seguente:
-se n è primo allora può essere già scritto come prodotto di 1 per sè stesso.
-se n non è primo allora può essere diviso per altri numeri che possono essere primi o non primi. Quelli primi vanno bene così. Per gli altri si reitera finchè non si arriva ad avere dei numeri primi (anche se ora scrivendola mi stanno venendo dei dubbi).
Una conseguenza è che qualunque numero può essere rappresentato solamente con i numeri primi. Se mi interessi rappresentare i numeri da 1 ad n, esiste un modo per stimare il miglioramento?
Grazie mille!
Detto questo, ho provato a scaricare il manuale e ho trovato il Teorema fondamentale dell'aritmetica: Ogni numero naturale n>1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.
Non c'era però la dimostrazione. Come idea di partenza come vi sembra la seguente:
-se n è primo allora può essere già scritto come prodotto di 1 per sè stesso.
-se n non è primo allora può essere diviso per altri numeri che possono essere primi o non primi. Quelli primi vanno bene così. Per gli altri si reitera finchè non si arriva ad avere dei numeri primi (anche se ora scrivendola mi stanno venendo dei dubbi).
Una conseguenza è che qualunque numero può essere rappresentato solamente con i numeri primi. Se mi interessi rappresentare i numeri da 1 ad n, esiste un modo per stimare il miglioramento?
Grazie mille!
Risposte
"hee136":
Ho letto su una pagina internet di un'università fra i consigli alle matricole di matematica che se si difetta di logica consigliano di studiare teoria degli insiemi. Mi potreste per favore spiegare il motivo?
Il fatto è che la logica si fonda proprio sui principi base della teoria degli insiemi e quindi studiare una implica necessariamente studiare l'altra, per esempio:
Siano $a,b$ due proprietà, l'espressione logica:
$avvb$
è direttamente corrispondente agli insiemi $A,B$ tali che:
$A:={x in I: a}$
$B:={x in I: b}$
con $I$ insieme qualsiasi ove ha senso parlare di $a,b$, ed in particolare all'insieme unione $AuuB$
Detto questo, ho provato a scaricare il manuale e ho trovato il Teorema fondamentale dell'aritmetica: Ogni numero naturale n>1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.
Non c'era però la dimostrazione. Come idea di partenza come vi sembra la seguente:
-se n è primo allora può essere già scritto come prodotto di 1 per sè stesso.
-se n non è primo allora può essere diviso per altri numeri che possono essere primi o non primi. Quelli primi vanno bene così. Per gli altri si reitera finchè non si arriva ad avere dei numeri primi (anche se ora scrivendola mi stanno venendo dei dubbi).
L'idea non è male, ma manca la definizione di primo e l'unicità.
Una conseguenza è che qualunque numero può essere rappresentato solamente con i numeri primi. Se mi interessi rappresentare i numeri da 1 ad n, esiste un modo per stimare il miglioramento?
Grazie mille!
non mi è chiaro di quale miglioramento parli...
Con la definizione $p$ è primo se ogniqualvolta $p|ab$ allora $p|a$ oppure $p|b$ l'unicità si può fare in questo modo:
Sia $n=p_{1}^{e_1} \cdots p_{z}^{e_z}=q_1^{s_1} \cdots q_{t}^{s_t}$ con $p_i$ e $q_i$ primi tali che $p_i \neq p_j$ per ogni $i \neq j$ ( e equivalentemente per gli $q_i$). Allora siccome $p_1$ è primo $p_1$ divide almeno un $q_i$. Possiamo supporre a meno di riordinare i termini che $p_1 | q_1$. quindi data la primalità e positività di $q_1$ segue che $p_1=q_1$. Quindi ripetendo il procedimento per $i=2, \ldots ,z$ ottieni che $z=t$, $p_i=q_i$ per ogni i e $e_i=s_i$ per ogni i.
Sia $n=p_{1}^{e_1} \cdots p_{z}^{e_z}=q_1^{s_1} \cdots q_{t}^{s_t}$ con $p_i$ e $q_i$ primi tali che $p_i \neq p_j$ per ogni $i \neq j$ ( e equivalentemente per gli $q_i$). Allora siccome $p_1$ è primo $p_1$ divide almeno un $q_i$. Possiamo supporre a meno di riordinare i termini che $p_1 | q_1$. quindi data la primalità e positività di $q_1$ segue che $p_1=q_1$. Quindi ripetendo il procedimento per $i=2, \ldots ,z$ ottieni che $z=t$, $p_i=q_i$ per ogni i e $e_i=s_i$ per ogni i.
ho sbagliato a scrivere dove vedi $\neq$ in realtà è solamente $\ne$.
Dove posso trovare delle dispense on-line di teoria degli insiemi?
Avete link delle vostre?
Grazie!
Avete link delle vostre?
Grazie!
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