Logica del primo ordine e logica del secondo ordine
Una logica del primo ordine è una logica i cui quantificatori lavorano sui termini di un insieme di riferimento e non sulle parti dell'insieme di riferimento.
Una logica del secondo ordine è una logica i cui quantificatori lavorano anche sulle parti dell'insieme di riferiemnto.
E' corretta questa distinzione?
Questa differenza significa che gli enunciati che riguardano la parti di un insieme $A$ sono enunciati del secondo ordine?:?
Una logica del secondo ordine è una logica i cui quantificatori lavorano anche sulle parti dell'insieme di riferiemnto.
E' corretta questa distinzione?
Questa differenza significa che gli enunciati che riguardano la parti di un insieme $A$ sono enunciati del secondo ordine?:?
Risposte
"WiZaRd":
Una logica del primo ordine è una logica i cui quantificatori lavorano sui termini di un insieme di riferimento e non sulle parti dell'insieme di riferimento.
Una logica del secondo ordine è una logica i cui quantificatori lavorano anche sulle parti dell'insieme di riferiemnto.
Esatto.
Questa differenza significa che gli enunciati che riguardano la parti di un insieme $A$ sono enunciati del secondo ordine?:?
Domanda un po' vaga: se non precisi chi e' il tuo insieme di riferimento e chi e' questo $A$, non si puo' nemmeno sapere di quale ordine e' la tua affermazione.
Intendo riferirmi agli enunciati sulle propeità degli insiemi et similia.
Per esempio, se dico: "dato $A$ di cardinalità finita $|A|=m$, allora $\forall X \subseteq A, |X|\leq |A|$". Questo è un enunciato del secondo ordine?
Io non so rispondermi perché se penso ad $A$ come insieme di riferimento mi viene di dire di sì, ma se penso a $\wp(A)$ come insieme di riferimento mi viene da dire di no.
Per esempio, se dico: "dato $A$ di cardinalità finita $|A|=m$, allora $\forall X \subseteq A, |X|\leq |A|$". Questo è un enunciato del secondo ordine?
Io non so rispondermi perché se penso ad $A$ come insieme di riferimento mi viene di dire di sì, ma se penso a $\wp(A)$ come insieme di riferimento mi viene da dire di no.
La tua e' un affermazione da teoria del prim'ordine degli insiemi. Il tuo universo di riferimento e', diciamo, la collezione di tutti gli insiemi possibili. Quindi tu quantifichi solo su elementi del tuo universo.
E questo ti spiega anche perche' per la matematica - che altro non e' che teoria degli insiemi - e' sufficiente la logica del prim'ordine: gli insiemi di insiemi sono a loro volta insiemi, e quindi appartengono all'universo di partenza; quantificando solo su tale universo non ti perdi nulla (in teoria, poi in pratica esistono universi bizzarri che soddisfano gli assiomi di ZFC)
E questo ti spiega anche perche' per la matematica - che altro non e' che teoria degli insiemi - e' sufficiente la logica del prim'ordine: gli insiemi di insiemi sono a loro volta insiemi, e quindi appartengono all'universo di partenza; quantificando solo su tale universo non ti perdi nulla (in teoria, poi in pratica esistono universi bizzarri che soddisfano gli assiomi di ZFC)
OK.
Perdonami se abuso della tua cortesia, ma un altro paio di domande.
1) In ZF (o ZFC) non è vietato parlare di insieme di tutti gli insiemi? Devo intendere quell'universo di cui mi parli come di un universo relativo, cioè limitato a quelli che sono tutti i possibili insiemi di un mio preciso discorso?
2) La logica degli enunciati di che ordine è? Essendo una logica senza quantificatori mi verrebbe da dire che non ha un'ordine, ma forse sbaglio...
3) L'alfabeto delle variabili proposizionali della logica degli enunciati è finito o infinito? Su alcune fonti trovo che è finito su altre che è infinito su altre che non ha importanza...
4) E' corretto affermare che le variaibli proposizionali sostituiscono gli enunciati all'interno della logica formalizzata?
Perdonami se abuso della tua cortesia, ma un altro paio di domande.
1) In ZF (o ZFC) non è vietato parlare di insieme di tutti gli insiemi? Devo intendere quell'universo di cui mi parli come di un universo relativo, cioè limitato a quelli che sono tutti i possibili insiemi di un mio preciso discorso?
2) La logica degli enunciati di che ordine è? Essendo una logica senza quantificatori mi verrebbe da dire che non ha un'ordine, ma forse sbaglio...
3) L'alfabeto delle variabili proposizionali della logica degli enunciati è finito o infinito? Su alcune fonti trovo che è finito su altre che è infinito su altre che non ha importanza...
4) E' corretto affermare che le variaibli proposizionali sostituiscono gli enunciati all'interno della logica formalizzata?
1) In genere si assume che l'universo di riferimento sia un insieme. Come ti sei accorto, questo crea un po' d'imbarazzo nel caso della teoria degli insiemi: se l'universo di riferimento contiene "idealmente" tutti gli insiemi possibili, allora non e' forse contraddittorio?
La risposta e' di comodo: un universo di riferimento della teoria degli insiemi e' un qualunque insieme che fa da modello per gli assiomi di ZFC. Se ZFC non e' contraddittoria, allora avra' anche un universo di riferimento non contraddittorio, ed evidentemente esso non conterra' tutto, ma quanto basta per realizzare tutte le costruzioni insiemistiche che si fanno in matematica.
2) Puoi vederla di ordine zero: non puoi quantificare su nulla...
3) Infinito. Per molte applicazioni pero' basta finito.
4) Si'. Le variabili proposizionali denotano enunciati generici.
La risposta e' di comodo: un universo di riferimento della teoria degli insiemi e' un qualunque insieme che fa da modello per gli assiomi di ZFC. Se ZFC non e' contraddittoria, allora avra' anche un universo di riferimento non contraddittorio, ed evidentemente esso non conterra' tutto, ma quanto basta per realizzare tutte le costruzioni insiemistiche che si fanno in matematica.
2) Puoi vederla di ordine zero: non puoi quantificare su nulla...
3) Infinito. Per molte applicazioni pero' basta finito.
4) Si'. Le variabili proposizionali denotano enunciati generici.
"WiZaRd":
OK.
Perdonami se abuso della tua cortesia, ma un altro paio di domande.
1) In ZF (o ZFC) non è vietato parlare di insieme di tutti gli insiemi? Devo intendere quell'universo di cui mi parli come di un universo relativo, cioè limitato a quelli che sono tutti i possibili insiemi di un mio preciso discorso?
2) La logica degli enunciati di che ordine è? Essendo una logica senza quantificatori mi verrebbe da dire che non ha un'ordine, ma forse sbaglio...
3) L'alfabeto delle variabili proposizionali della logica degli enunciati è finito o infinito? Su alcune fonti trovo che è finito su altre che è infinito su altre che non ha importanza...
4) E' corretto affermare che le variaibli proposizionali sostituiscono gli enunciati all'interno della logica formalizzata?
Primo messaggio da amante della materia in questo forum, quindi unisco un saluto a tutti.
1) Credo la frase di fields fosse a titolo esemplificativo in linea con la tua lettura.
2) Non ha ordine perchè non c'è quantificazione.
3) In effetti non è importante e varia a seconda degli autori.
4) Corretto se sostituisci all'espressione "logica formalizzata" l'espressione "logica proposizionale".
OK. Vi ringrazio per la disponibilità.
io per enunciati intendo ex. pvq=1
@xyz
Non ho capito il tuo post.
Non ho capito il tuo post.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo