Logica: conseguenza semantica
Salve a tutti!!
consegna: \( A \models B \) e \( B \models D \Longleftrightarrow A \wedge B \models C \vee D \)
soluzione: essendo un'equivalenza, questa va scomposta in due direzioni:
=>: v(A)=1 => v(B)=1 e v(B)=1 => v(D)=1, cioè, messo tutto insieme, v(A)=v(B)=v(D)=1 è l'ipotesi. Passo alla tesi e viene v( \(A \wedge B\) ) = 1 => v(A)=v(B)=1. Ora questo deve implicare, per via della conseguenza semantica, che v( \( C \vee D \) ) = 1. Per ipotesi è vero perchè v(D)=1
<=: analogo a quanto detto prima, ma non mi interessa ai fini della domanda.
altra consegna: \( A \vee B \models A \vee C \Longleftrightarrow \neg A \wedge B \models C \)
soluzione: di nuovo un'equivalenza, che io risolvo solo nel lato fine alla domanda: =>.
Se \( A \vee B \models A \vee C \) allora già l'ipotesi è falsa. Quindi la tesi non può che essere falsa.
Allora la mia domanda è: ho fatto bene gli esercizi? Ho notato che nel primo caso non ho agito come nel secondo, perchè se lo avessi fatto, nel primo caso non avrei trovato una conseguenza semantica. Ma allora come si risolve?
Grazie in anticipo!
EDIT: scusate la scorrettezza, ma ho postato questo messaggio anche su un altro forum!
consegna: \( A \models B \) e \( B \models D \Longleftrightarrow A \wedge B \models C \vee D \)
soluzione: essendo un'equivalenza, questa va scomposta in due direzioni:
=>: v(A)=1 => v(B)=1 e v(B)=1 => v(D)=1, cioè, messo tutto insieme, v(A)=v(B)=v(D)=1 è l'ipotesi. Passo alla tesi e viene v( \(A \wedge B\) ) = 1 => v(A)=v(B)=1. Ora questo deve implicare, per via della conseguenza semantica, che v( \( C \vee D \) ) = 1. Per ipotesi è vero perchè v(D)=1
<=: analogo a quanto detto prima, ma non mi interessa ai fini della domanda.
altra consegna: \( A \vee B \models A \vee C \Longleftrightarrow \neg A \wedge B \models C \)
soluzione: di nuovo un'equivalenza, che io risolvo solo nel lato fine alla domanda: =>.
Se \( A \vee B \models A \vee C \) allora già l'ipotesi è falsa. Quindi la tesi non può che essere falsa.
Allora la mia domanda è: ho fatto bene gli esercizi? Ho notato che nel primo caso non ho agito come nel secondo, perchè se lo avessi fatto, nel primo caso non avrei trovato una conseguenza semantica. Ma allora come si risolve?
Grazie in anticipo!
EDIT: scusate la scorrettezza, ma ho postato questo messaggio anche su un altro forum!
Risposte
Perdonami se Ti faccio perdere tempo ma io conosco questa identità che forse Ti puo tornare utile $ ArArr B equiv not A or B $ Ovvero l'implicazione è vera se e falsa la premessa o è vera la conclusione
Se quella che esprimevi Tu è un implicazionemi pare torni tutto
nella prima consegna c'è un incongruenza Manca C nella prima parte
$ A vv B rArr A vv C $ diventa $ not (A vv B) vv (A vv C) $ ovvero applicando De Morgan $ not A ^^ not B vv (A vv C) $ $ not A ^^ ( B rArr (A vv C)) $ da cui $ not A ^^(B rArr C) $
Se quella che esprimevi Tu è un implicazionemi pare torni tutto
nella prima consegna c'è un incongruenza Manca C nella prima parte
$ A vv B rArr A vv C $ diventa $ not (A vv B) vv (A vv C) $ ovvero applicando De Morgan $ not A ^^ not B vv (A vv C) $ $ not A ^^ ( B rArr (A vv C)) $ da cui $ not A ^^(B rArr C) $
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