Localizzazione dell'anello dei polinomi su un ideale primo

[NightKnight1]

Sia $k$ un campo. Nell'anello dei polinomi $k[X]$ si consideri l'ideale $(X)$. Esso è primo, quindi posso localizzare rispetto a questo ideale, cioè costruire l'anello $k[X]_((X)) := S^{-1} (k[X])$ dove si considera la parte moltiplicativa $S=k[X]-(X)$.
Credo, ma non riesco a dimostrare, che $k[X]_((X))$ sia isomorfo all'anello delle serie di potenze $k[[X]]$.

Sia $i \ : \ k[X] -> k[[X]]$ l'inclusione.
$i(S) \subseteq (k[[X]])^**$: cioè ogni elemento della parte moltiplicativa $S$ è invertibile in $k[[X]]$, e questo è vero perché sono serie di potenze con termine noto non nullo.
Allora esiste ben definito l'omomorfismo
$h: k[X]_((X)) -> k[[X]] \ \ \ \ f/g \ mapsto i(f) i(g)^{-1}$.
Esso è chiaramente iniettivo. Ma per la surgettività mi servirebbe sapere che ogni serie di potenze è rapporto di due polinomi.

[alberto861]

$K[[x]]$ è completo ( rispetto alla topologia indotta dalle potenze dell'ideale massimale generato da (x)) mentre $K[x]_{(x)}$ no.
Vedi "Commutative algebra" di Matsumura o "Introduction to commutative algebra" di Atiyah Macdonald

[NightKnight1]

Ero convinto che fosse vero. Pazienza!
Grazie, anche se non ho capito la tua soluzione perché non ho ancora studiato la topologia $I$-adica.