Lo spettro di un anello è compatto

[liberatorimatteo]

Buonasera devo dimostrare questa proposizione

Dimostrare che per ogni anello commutativo $R$, lo spazio $\text(Spec)(R)$, dotato dalla topologia di Zariski, è compatto.

Vi scrivo la mia dimostrazione ma non sono convinto di alcuni passaggi. Nel corso della dimostrazione indichero con $I(S)$ l'ideale di $R$ generato da $S\subsetR$.

DIMOSTRAZIONE
Devo mostrare che

$\forall{C_a}_(a\inA): \nnn_{a\inA}C_a=O/\text( ) \existsB\subsetA \text( finito): \nnn_{b\inB}C_b=O/$

Poiché $ C_a $ è un chiuso di $ \text(Spec)(R) $ vuol dire che è della forma $ Z(S_a)={\mathfrak(p)\in\text(Spec)(A): S_a\subseteq\mathfrak(p)} $ ove $ S_a $ è un sottoinsieme di $ A $. Quindi

$\forall{Z(S_a)}_(a\inA): \nnn_{a\inA}Z(S_a)=Z(\uuu_{a\inA}S_a)=Z(\sum_{a\inA}I(S_a))=O/$

Questo vuol dire che

$\text(non esiste )\mathfrak(p)\in\text(Spec)(R):\sum_{a\inA}I(S_a)\insubseteq\mathfrak(p) => \text(non esiste )\mathfrak(m)\subsetR\text( massimale): \sum_{a\inA}I(S_a)\subseteq\mathfrak(m) =>$

$\sum_{a\inA}I(S_a)=R$

Questa ultima due implicazioni non mi è chiarissima, mi pare chiaramente vero, ma non so darmi una spiegazione precisa, forse è perché ogni ideale diverso tutto l'anello è conttunto in un ideale massimale ma dato che questo non è contenuto in nessuno allora vuol dire che è tutto (?)... Comunque preso ciò per buono ho

$1_R\in \sum_{a\inA}I(S_a)$

Posso quindi scrivere $1_R$ come combinazione lineare finita (questo mi è stato detto dal prof ma non ho capito il motivo)

$1=x_(b_1)+...+x_(b_n)$ ove $x_(b_i)\inI(S_(b_i))$ e ${b_1,...,b_n}=:B\subsetA$

Quindi

$\nnn_{b\inB}Z(I(S_b))=Z(\sum_{b\inB}I(S_b))=Z(R)=O/$

[Studente Anonimo]

"Freebulls":forse è perché ogni ideale diverso tutto l'anello è contenuto in un ideale massimale ma dato che questo non è contenuto in nessuno allora vuol dire che è tutto

Esatto.

Comunque preso ciò per buono ho

$1_R\in \sum_{a\inA}I(S_a)$

Posso quindi scrivere $1_R$ come combinazione lineare finita (questo mi è stato detto dal prof ma non ho capito il motivo)

Beh ogni elemento di [tex]\sum_{a \in A} I(S_a)[/tex] è una somma di elementi che stanno negli $I(S_a)$, per definizione. Occhio, somma, non combinazione lineare.

[liberatorimatteo]

Si giusto, ho sbagliato a scrivere, grazie.
Ciò che non mi è chiarissimo è perché se $1_R$ appartiene ad una somma infinita di ideali allora lo posso scrivere come somma finita.

[Studente Anonimo]

Una somma di ideali è definita come l'insieme delle somme finite di elementi degli addendi.

Osserva che una somma infinita di elementi non avrebbe senso.