L'insieme vuoto esiste?
Un assioma fondamentale di tutte le teorie degli insiemi afferma che esiste un insie me privo di elementi, detto insieme vuoto e scritto in questo modo:{}. Se {} esiste questo implica che non esiste perche' non ha elementi; se{} non esiste allora non puo' essere elemento di un altro insieme e questo non e' possibile perche' negherebbe la proprieta' fondamentale di tutti gli insiemi di essere elemento di un insieme piu'grande quindi esiste. Tutto questo implica che l'assioma dell' esistenza di{} non e' esattamente un assioma ma una proposizione indecidibile, aggiunta ad un sisttema assiomatico che quindi e'coerente per il teorema d'incompletezza.
Risposte
L'insieme vuoto esiste grazie ad un assioma della teoria degli insiemi; il resto del tuo discorso sono osservazioni confusionarie e senza conseguenze. In particolare, non è affatto vero che l'insieme vuoto non esiste perché non ha elementi.
A tutto ciò aggiungo anche che la costruzione dei numeri naturali all'interno della teoria ZF è fondata sull'esistenza dell'insieme vuoto. Infatti, si pone $0: =\emptyset$, $1: =\{\emptyset}=\{0\}$, $2: =\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=\{0,1\}$ e così via.
In realtà sono convinto che l'assioma dell'esistenza dell'insieme vuoto potrebbe essere indebolito: è sufficiente assiomatizzare l'esistenza di almeno un insieme.
Infatti se si accetta l'assioma di specificazione è possibile costruire l'insieme vuoto e, tramite l'assioma di estensionalità, è possibile dimostrare che esso è unico.
Non sono un esperto quindi potrei anche sbagliare, sarò contento di leggere chiarimenti se qualcuno vuole correggermi.
Infatti se si accetta l'assioma di specificazione è possibile costruire l'insieme vuoto e, tramite l'assioma di estensionalità, è possibile dimostrare che esso è unico.
Non sono un esperto quindi potrei anche sbagliare, sarò contento di leggere chiarimenti se qualcuno vuole correggermi.
Credo che ci siano un po' di problemi a dire che esiste semplicemente un insieme e basta, senza specificare almeno una proprietà che esso soddisfa. Ovvero, non sono troppo esperto di teoria degli insiemi ma non penso che un assioma che dice "Esiste $X$" e basta sia buono, altrimenti lo avrebbero già utilizzato. Forse per altro "Esiste $X$" non è nemmeno una formula ben formata in logica del primo ordine.
A questo punto sarebbe meglio spostare in algebra, logica..
Per come ho interpretato io gli assiomi, ci sono diversi assiomi (quasi tutti) che cominciano con "$\forall A$" senza specificare alcuna proprietà di $A$. Dal punto di vista della logica le proposizioni "$A$ è un insieme qualunque" e "esiste almeno un insieme" mi sembrano allo stesso livello.
I quantificatori esistenziale e universale devono essere seguiti da qualche proprietà, non necessariamente degli oggetti quantificati, ma in ogni caso qualcosa dopo ci va, altrimenti non sono formule ben formate. Per esempio "per ogni $x$ esiste $y$" non è una formula ben formata credo, bisogna specificare qualcosa di più.
Sposto in Algebra e Logica.
Sposto in Algebra e Logica.
Provo a spiegare il mio punto con sotto mano uno degli assiomi comunemente accettati: l'assioma di estensionalità.
L'enunciato è il seguente:
$(\forall A)(\forall B), A=B\Leftrightarrow (\forall C, C\in A\Leftrightarrow C\in B)$
Come si vede vengono scelti arbitrariamente due insiemi $A$ e $B$ senza specificare alcuna proprietà che debbano soddisfare. Dopodichè si afferma che essi sono uguali se scelto ad arbitrio un terzo insieme $C$ vale $C\in A\Leftrightarrow C\in B$ (ancora, $C$ è un qualunque insieme a cui non si richiede di soddisfare alcuna proprietà).
L'enunciato è il seguente:
$(\forall A)(\forall B), A=B\Leftrightarrow (\forall C, C\in A\Leftrightarrow C\in B)$
Come si vede vengono scelti arbitrariamente due insiemi $A$ e $B$ senza specificare alcuna proprietà che debbano soddisfare. Dopodichè si afferma che essi sono uguali se scelto ad arbitrio un terzo insieme $C$ vale $C\in A\Leftrightarrow C\in B$ (ancora, $C$ è un qualunque insieme a cui non si richiede di soddisfare alcuna proprietà).
"Luca.Lussardi":
Ma non penso che un assioma che dice "Esiste $X$" e basta sia buono, altrimenti lo avrebbero già utilizzato. Forse per altro "Esiste $X$" non è nemmeno una formula ben formata in logica del primo ordine.
Neanch'io sono esperto, ma ho dato una sbirciatina al testo di Hrbaceck e Jech.
Considera la proprietà $P(x) =$ "$x$ è un insieme", allora l'assioma $\exists x \quad ( P(x) )$ è una formula ben formata. Questo assioma si chiama "weak axiom of existence". Usandolo insieme all'assioma schema di specificazione puoi provare che esiste l'insieme vuoto. Infatti sappiamo che esiste un insieme $A$ e inoltre l'assioma di specificazione assicura l'esistenza dell'insieme ${x \in A | x \ne x}$ che è vuoto.
Non mi convince: come formalizzi la proposizione "$X$ è un insieme"? Non esiste la parola insieme nell'alfabeto di ZF. Resto dell'idea che non si possa assiomatizzare l'esistenza di un insieme arbitrario restando nel linguaggio di ZF.
"Luca.Lussardi":
Non mi convince: come formalizzi la proposizione "\( \displaystyle {X} \) è un insieme"?
Ottima osservazione, allora faccio un altro tentativo. xD Che ne dici se formalizziamo "esiste un insieme che contiene un oggetto oppure no" così:
$\exists x \exists y ( (y \in x) vv (y \notin x) )$
è ben formata e l'insieme $x$ praticamente non ha nessuna proprietà particolare ?? Sbaglio anche stavolta ?
La proposizione "esiste un insieme" è semplicemente $\exists x. x=x$ 
Edit: va bene anche quella di perplesso.
Edit: va bene anche quella di perplesso.
Giusto, ok, ci sono. Allora si può, ed è anche semplice. Grazie, ho imparato una cosa nuova.
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