L'insieme delle permutazioni di Sn

[gioce90]

Salve a tutti!
Vorrei proporvi un problema sul quale mi arrovello da stamattina ma senza venirne a capo! Il problema é che non so proprio da dove cominciare.. potreste spiegarmelo, se riuscite?
È questo:

Sia n un intero>1 e sia H l’insieme delle permutazioni di Sn che non lasciano fisso l’elemento 1.

(1) Determinare la cardinalità di H;
(2) Provare che H non è contenuto in alcun sottogruppo proprio di Sn;
(3) per n=6 determinare la cardinalità dell’insieme delle permutazioni dispari appartenenti ad H


Grazie in anticipo

[Gi81]

Ti faccio due domande per farti rispondere al punto 1)

[*:1yoik4f0]Qual è la cardinalità di $S_n$?[/*:m:1yoik4f0][*:1yoik4f0]In $S_n$, quante sono le permutazioni che lasciano fisso $1$?[/*:m:1yoik4f0][/list:u:1yoik4f0]

[gioce90]

n!
n-1!
Quindi è n-1! ?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se n'è già parlato qui.

[gioce90]

Quindi, se ho capito bene,

Per il punto 1) dovrebbe essere:
La cardinalità di $Sn$ è $n!$
In $Sn$, le permutazioni che lasciano fisso $1$ sono $(n-1)!$

Quindi $ |H| = n! - (n-1)! = (n-1)(n-1)! $

Per il punto 2) sarei giunto a questa conclusione:
Abbiamo un sottogruppo $K ∈ Sn$.
Per il Teorema di Lagrange (l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo) ho:
$|K|≤|Sn|/2$
Inoltre ho che $H⊆K$ , per cui
$|H|≤|K|≤|Sn|/2$
E dunque
$ (n-1)(n-1)! <= (n!)/2 $
e questo non è sempre vero, ad esempio per $n=3$:
$ 4 <= 3 $ che è assurdo. È corretto così?

Per il punto 3) ho fatto la seguente considerazione
Il sottogruppo alterno (si chiama così, no?) di $H$ ha ordine
$1/2(n−1)(n−1)!$
Invece la cardinalità di $H$ è: $(n-1)(n-1)! $
La cardinalità delle permutazioni dispari di H (che indicherò con $|F|$) dovrebbe essermi dato da:
$|F| = |H| - 1/2(n−1)(n−1)! = 1/2(n−1)(n−1)!$