Lemma sulle proprietà dei maggioranti e minoranti

[perplesso1]

Salve, qualcuno potrebbe rassicurarmi sulla correttezza di questo lemma che ho scritto? Se $(P, <=)$ è un insieme ordinato e $A$ è un sottoinsieme di $P$, indico con $A^u$ l'insieme dei maggioranti di $A$ e con $A^l$ l'insieme dei minoranti. Per comodità nel seguito scrivo $\bigcup A_i$ per intendere $\bigcup_{i \in I} A_i$ (e analogamente per le intersezioni).

Lemma Sia $(A_i)_{i \in I}$ una famiglia di sottoinsiemi di un insieme ordinato $(P, <=)$. Risulta

(i) $A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow A_2^u \subseteq A_1^u$

(ii) $A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow A_2^l \subseteq A_1^l$

(iii) $\bigcup A_i^u \subseteq (\bigcap A_i )^u$

(iv) $(\bigcup A_i )^l \subseteq \bigcap A_i^l$

(v) Se per ogni $A_i$ risulta $(A_i^u)^l = A_i$ allora $((\bigcap A_i)^u)^l = \bigcap A_i$

Dimostrazione
(i) $x \in A_2^u \Rightarrow x \ge a$ per ogni $a \in A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow x \in A_1^u$

(ii) $x \in A_2^l \Rightarrow x \le a$ per ogni $a \in A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow x \in A_1^l$

(iii) Da $\bigcap A_i \subseteq A_i$ segue usando (i) $A_i^u \subseteq (\bigcap A_i )^u$ e quindi $x \in \bigcup A_i^u \Rightarrow x \in A_i^u$ per qualche $i \in I \Rightarrow x \in (\bigcap A_i )^u$

(iv) Da $A_i \subseteq \bigcup A_i$ segue usando (ii) $(\bigcup A_i)^l \subseteq A_i^l$ e quindi $x \in (\bigcup A_i )^l \Rightarrow x \in A_i^ l$ per ogni $i \in I \Rightarrow x \in \bigcap A_i^l$

(v) Applicando (ii) al risultato del punto (iii) si ottiene $((\bigcap A_i)^u)^l \subseteq (\bigcup A_i^u)^l$ e poi usando (iv) si ha $(\bigcup A_i^u)^l \subseteq \bigcap (A_i^u)^l = \bigcap A_i$ e quindi $((\bigcap A_i)^u)^l \subseteq \bigcap A_i$. L'altra inclusione è ovvia.

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