Lemma di Zorn

dissonance
Lemma di Zorn: Ogni insieme ordinato induttivo ammette massimali. ("induttivo"="ogni catena è dotata di maggioranti")

Ma quello che non mi spiego bene è cosa siano i massimali relativamente alle catene. E' giusto dire che un massimale è un massimo, ma di una opportuna catena? E allora il lemma di Zorn si può pensare in termini di:

se ogni catena è limitata superiormente, allora ogni catena ammette estremo superiore

il che assomiglia parecchio alla completezza dei numeri reali?

(edit) naturalmente parlo di "catena" nel senso di "sottoinsieme su cui l'ordine indotto è totale"

Risposte
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"dissonance":
E allora il lemma di Zorn si può pensare in termini di:

se ogni catena è limitata superiormente, allora ogni catena ammette estremo superiore


No, altrimenti il lemma di Zorn sarebbe falso :!:

Mi sembra che wikipedia (inglese) sia chiara al riguardo del lemma di Zorn

Ti darei il link, ma quello stupido del parser me lo spezza in due :x

dissonance
Allora forse ho capito l'inghippo... I massimali a cui fa riferimento l'enunciato sono massimali di tutto l'insieme, e non delle specifiche catene. Ovvero, supponiamo che $(X,<=)$ sia un insieme ordinato induttivo. Perciò, per ogni catena $C$ ($C\subX\ "t.c." (C,<=)$ è totalmente ordinato) esiste qualche elemento $M\inX$ maggiorante per $C$ ($c<=M, \forall c\inC$). Il lemma a questo punto ci dice che esiste un elemento massimale di X, cioè un $x\in X$ t.c. $\forall y\inX, x<=y Rightarrow x=y$. E' corretto?

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"dissonance":
Allora forse ho capito l'inghippo... I massimali a cui fa riferimento l'enunciato sono massimali di tutto l'insieme, e non delle specifiche catene. Ovvero, supponiamo che $(X,<=)$ sia un insieme ordinato induttivo. Perciò, per ogni catena $C$ ($C\subX\ "t.c." (C,<=)$ è totalmente ordinato) esiste qualche elemento $M\inX$ maggiorante per $C$ ($c<=M, \forall c\inC$). Il lemma a questo punto ci dice che esiste un elemento massimale di X, cioè un $x\in X$ t.c. $\forall y\inX, x<=y Rightarrow x=y$. E' corretto?


Esatto

dissonance
grazie!

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