Lemma di Zorn
Lemma di Zorn: Ogni insieme ordinato induttivo ammette massimali. ("induttivo"="ogni catena è dotata di maggioranti")
Ma quello che non mi spiego bene è cosa siano i massimali relativamente alle catene. E' giusto dire che un massimale è un massimo, ma di una opportuna catena? E allora il lemma di Zorn si può pensare in termini di:
se ogni catena è limitata superiormente, allora ogni catena ammette estremo superiore
il che assomiglia parecchio alla completezza dei numeri reali?
(edit) naturalmente parlo di "catena" nel senso di "sottoinsieme su cui l'ordine indotto è totale"
Ma quello che non mi spiego bene è cosa siano i massimali relativamente alle catene. E' giusto dire che un massimale è un massimo, ma di una opportuna catena? E allora il lemma di Zorn si può pensare in termini di:
se ogni catena è limitata superiormente, allora ogni catena ammette estremo superiore
il che assomiglia parecchio alla completezza dei numeri reali?
(edit) naturalmente parlo di "catena" nel senso di "sottoinsieme su cui l'ordine indotto è totale"
Risposte
"dissonance":
E allora il lemma di Zorn si può pensare in termini di:
se ogni catena è limitata superiormente, allora ogni catena ammette estremo superiore
No, altrimenti il lemma di Zorn sarebbe falso

Mi sembra che wikipedia (inglese) sia chiara al riguardo del lemma di Zorn
Ti darei il link, ma quello stupido del parser me lo spezza in due

Allora forse ho capito l'inghippo... I massimali a cui fa riferimento l'enunciato sono massimali di tutto l'insieme, e non delle specifiche catene. Ovvero, supponiamo che $(X,<=)$ sia un insieme ordinato induttivo. Perciò, per ogni catena $C$ ($C\subX\ "t.c." (C,<=)$ è totalmente ordinato) esiste qualche elemento $M\inX$ maggiorante per $C$ ($c<=M, \forall c\inC$). Il lemma a questo punto ci dice che esiste un elemento massimale di X, cioè un $x\in X$ t.c. $\forall y\inX, x<=y Rightarrow x=y$. E' corretto?
"dissonance":
Allora forse ho capito l'inghippo... I massimali a cui fa riferimento l'enunciato sono massimali di tutto l'insieme, e non delle specifiche catene. Ovvero, supponiamo che $(X,<=)$ sia un insieme ordinato induttivo. Perciò, per ogni catena $C$ ($C\subX\ "t.c." (C,<=)$ è totalmente ordinato) esiste qualche elemento $M\inX$ maggiorante per $C$ ($c<=M, \forall c\inC$). Il lemma a questo punto ci dice che esiste un elemento massimale di X, cioè un $x\in X$ t.c. $\forall y\inX, x<=y Rightarrow x=y$. E' corretto?
Esatto
grazie!