Lemma di Zariski
Ciao a tutti! Sono alle prese con il seguente teorema:
Lemma di Zariski: Siano $K$ un campo e $A$ una $K$-algebra commutativa e finitamente generata. Se $A$ è un campo, allora è un'estensione finita di $K$.
Vorrei proporvi una mia dimostrazione, che non trovo da nessuna parte nonostante sia relativamente semplice (e di conseguenza comincio a pensare che sia sbagliata):
Abbiamo $A \cong {K[x_1,...,x_n]}/M$, dove $M$ è un ideale massimale, ed è sufficiente dimostrare che ogni $\overline{x_i}$ (proiezione al quoziente di $x_i$) è algebrico su $K$. Cerchiamo quindi, per ogni $i$ fissato, un polinomio $f \in K[t]$ non nullo tale che $f(\overline{x_i})=0$, ovvero $f(x_i) \in M$: un tale polinomio esiste se e solo se $M \cap K[x_i] \ne (0)$, ma se ciò non accadesse, $M':=M+(x_i)$ sarebbe un ideale che contiene propriamente $M$, perciò $1 \in M'$. Ora, se $g_1,...,g_k$ sono polinomi che generano $M$, allora $M'=(x_i,g_1,...,g_k)=(x_i,h_1,...,h_k)$, dove ogni $h_j$ è ottenuto da $g_j$ eliminando tutti i termini in cui compare $x_i$, e si avrebbe
$1=ax_i+\sum_{j=1}^k b_j h_j$
con $a,b_1,...,b_k \in K[x_1,...,x_n]$, e possiamo supporre che i $b_j$ non dipendano da $x_i$, perché se $b_j=b'_j+q$ e $x_i|q$ potremmo sostituire $b_j$ con $b'_j$ e $a$ con $a+q/{x_i} h_j$. A questo punto, però, isolando $ax_i$, quest'ultimo sarebbe un polinomio che non dipende da $x_i$, assurdo.
L'ho riletta svariate volte, ma i dubbi rimangono... Voi che ne dite?
EDIT: ho trovato l'errore (si può avere $a=0$).
Lemma di Zariski: Siano $K$ un campo e $A$ una $K$-algebra commutativa e finitamente generata. Se $A$ è un campo, allora è un'estensione finita di $K$.
Vorrei proporvi una mia dimostrazione, che non trovo da nessuna parte nonostante sia relativamente semplice (e di conseguenza comincio a pensare che sia sbagliata):
Abbiamo $A \cong {K[x_1,...,x_n]}/M$, dove $M$ è un ideale massimale, ed è sufficiente dimostrare che ogni $\overline{x_i}$ (proiezione al quoziente di $x_i$) è algebrico su $K$. Cerchiamo quindi, per ogni $i$ fissato, un polinomio $f \in K[t]$ non nullo tale che $f(\overline{x_i})=0$, ovvero $f(x_i) \in M$: un tale polinomio esiste se e solo se $M \cap K[x_i] \ne (0)$, ma se ciò non accadesse, $M':=M+(x_i)$ sarebbe un ideale che contiene propriamente $M$, perciò $1 \in M'$. Ora, se $g_1,...,g_k$ sono polinomi che generano $M$, allora $M'=(x_i,g_1,...,g_k)=(x_i,h_1,...,h_k)$, dove ogni $h_j$ è ottenuto da $g_j$ eliminando tutti i termini in cui compare $x_i$, e si avrebbe
$1=ax_i+\sum_{j=1}^k b_j h_j$
con $a,b_1,...,b_k \in K[x_1,...,x_n]$, e possiamo supporre che i $b_j$ non dipendano da $x_i$, perché se $b_j=b'_j+q$ e $x_i|q$ potremmo sostituire $b_j$ con $b'_j$ e $a$ con $a+q/{x_i} h_j$. A questo punto, però, isolando $ax_i$, quest'ultimo sarebbe un polinomio che non dipende da $x_i$, assurdo.
L'ho riletta svariate volte, ma i dubbi rimangono... Voi che ne dite?
EDIT: ho trovato l'errore (si può avere $a=0$).
Risposte
Puoi usare la normalizzazione di Noether, e fai in un attimo (vedi Bosch - Algebraic Geometry and Commutative Algebra corollario 3.2.3). 
Grazie!
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