Lemma di Burnside
Salve a tutti,
ho un dubbio nella dimostrazione del seguente
Lemma (di Burnside)
Siano $G$ un gruppo finito, $X$ un insieme finito e supponiamo che $G$ agisca su $X$. Allora, posto
$k:=|{ O(x)| x \in G}|$
$\forall g \in G....... X_{g} :={x\inX | gx=x}$
risulta
$k= 1/(|G|) \sum_{g\inG} |X_g| $
Dimostrazione
Sia $S:={(g,x)\inG \times X |gx=x}$. Il mio testo dice che
$|S|=\sum_{g\inG} |X_g|$
Ecco, il mio dubbio riguarda precisamente questa uguaglianza. Come mai è vera?
Provo ad esprimere il mio ragionamento.
Considero l'applicazione $g:S\to X$ tale che $g: (g,x) \to x$. Di fatto sto considerando la proiezione sul secondo fattore ristretta ad $S$.
Noto che
1) L'immagine di $g$ è contenuta in $uuu_{g in G} X_g$
2) Se considero la ridotta di $g$ e la denoto con $f$, ottengo un applicazione $f:S\to uuu_{g in G} X_g$ che è bigettiva.
In particolare, l'iniettività deriva dal fatto che per le azioni vale la cancellazione sinistra.
Da questi fatti segue che
$|S|=|uuu_{g in G} X_g|$
Per ottenere l'uguaglianza citata in precedenza, basterebbe provare che l'unione precedente è disgiunta. Come faccio?
Cioè il problema è questo:
supponiamo che $x\in X_{g} \cap X_{g'}$. Allora $gx=g'x$. Ora, mi piacerebbe tanto concludere che $g=g'$ per cancellazione destra. Ma purtroppo per le azioni questa regola non vale ...
ho un dubbio nella dimostrazione del seguente
Lemma (di Burnside)
Siano $G$ un gruppo finito, $X$ un insieme finito e supponiamo che $G$ agisca su $X$. Allora, posto
$k:=|{ O(x)| x \in G}|$
$\forall g \in G....... X_{g} :={x\inX | gx=x}$
risulta
$k= 1/(|G|) \sum_{g\inG} |X_g| $
Dimostrazione
Sia $S:={(g,x)\inG \times X |gx=x}$. Il mio testo dice che
$|S|=\sum_{g\inG} |X_g|$
Ecco, il mio dubbio riguarda precisamente questa uguaglianza. Come mai è vera?
Provo ad esprimere il mio ragionamento.
Considero l'applicazione $g:S\to X$ tale che $g: (g,x) \to x$. Di fatto sto considerando la proiezione sul secondo fattore ristretta ad $S$.
Noto che
1) L'immagine di $g$ è contenuta in $uuu_{g in G} X_g$
2) Se considero la ridotta di $g$ e la denoto con $f$, ottengo un applicazione $f:S\to uuu_{g in G} X_g$ che è bigettiva.
In particolare, l'iniettività deriva dal fatto che per le azioni vale la cancellazione sinistra.
Da questi fatti segue che
$|S|=|uuu_{g in G} X_g|$
Per ottenere l'uguaglianza citata in precedenza, basterebbe provare che l'unione precedente è disgiunta. Come faccio?
Cioè il problema è questo:
supponiamo che $x\in X_{g} \cap X_{g'}$. Allora $gx=g'x$. Ora, mi piacerebbe tanto concludere che $g=g'$ per cancellazione destra. Ma purtroppo per le azioni questa regola non vale ...
Risposte
Usi l'approccio sbagliato. Il fatto è molto più semplice.
\(X_g \cong \{g\}\times X_g \subset S\) e l'unione disgiunta dei vari insiemi \(\{g\}\times X_g\) è \(S\).
\(X_g \cong \{g\}\times X_g \subset S\) e l'unione disgiunta dei vari insiemi \(\{g\}\times X_g\) è \(S\).
Perfetto!! E sono 2!! Grazie!!! 
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