Legge di trasformazione di tensori e pseudotensori
Salve a tutti. Leggendo un libro di algebra lineare, trovo un tensore $(r,s)$ su uno spazio vettoriale $n$-dimensionale $E_n$ definito come una applicazione multilineare
\[ \mathbf{T} : E^{*r}_n \times E^s_n \to \mathbb{R} \]
Consideriamo per semplicità il caso di tensori $(0,2)$. L'azione su una generica coppia di vettori $(x,y) \in E_n^2$ si può scrivere in termini delle componenti $T_{ij}$, e per un cambiamento di base su $E_n$
\[ e'_i = A_i^j e_j \]
richiedendo che $ T'_{hk} x'^h y'^k = T_{ij}x^iy^j$, trovo la legge di trasformazione delle componenti del tensore
\[ T'_{hk} = A_h^i A_k^i T_{ij} \]
Questa legge di trasformazione, per come è ottenuta, dovrebbe valere per tutte le applicazioni multilineari. Un capitolo più avanti trovo definito uno pseudotensore $(0,2)$ come un'applicazione multilineare
\[ \mathbf{T} : E^{*}_n \times E_n \to \mathbb{R} \]
tale che, per un cambiamento di base di $E_n$ le sue componenti si trasformano in accordo alla legge
\[ T'_{ij} = \pm A_h^i A_k^i T_{ij} \]
Dove il segno $\pm$ dipende da se le due basi coinvolte appartengano o meno alla stessa classe di congruenza.
Per come è definito, se lo pseudotensore è una applicazione lineare anche esso, perchè non valgono gli stessi passaggi che portano alla formula di trasformazione delle coordinate di tutti i tensori?
E' forse vero che per uno pseudotensore in generale $ T'_{hk} x'^h y'^k \ne T_{ij}x^iy^j$, cioè il risultato della sua azione sui vettori non è intrinseco, ma dipende dalla base?
Grazie
\[ \mathbf{T} : E^{*r}_n \times E^s_n \to \mathbb{R} \]
Consideriamo per semplicità il caso di tensori $(0,2)$. L'azione su una generica coppia di vettori $(x,y) \in E_n^2$ si può scrivere in termini delle componenti $T_{ij}$, e per un cambiamento di base su $E_n$
\[ e'_i = A_i^j e_j \]
richiedendo che $ T'_{hk} x'^h y'^k = T_{ij}x^iy^j$, trovo la legge di trasformazione delle componenti del tensore
\[ T'_{hk} = A_h^i A_k^i T_{ij} \]
Questa legge di trasformazione, per come è ottenuta, dovrebbe valere per tutte le applicazioni multilineari. Un capitolo più avanti trovo definito uno pseudotensore $(0,2)$ come un'applicazione multilineare
\[ \mathbf{T} : E^{*}_n \times E_n \to \mathbb{R} \]
tale che, per un cambiamento di base di $E_n$ le sue componenti si trasformano in accordo alla legge
\[ T'_{ij} = \pm A_h^i A_k^i T_{ij} \]
Dove il segno $\pm$ dipende da se le due basi coinvolte appartengano o meno alla stessa classe di congruenza.
Per come è definito, se lo pseudotensore è una applicazione lineare anche esso, perchè non valgono gli stessi passaggi che portano alla formula di trasformazione delle coordinate di tutti i tensori?
E' forse vero che per uno pseudotensore in generale $ T'_{hk} x'^h y'^k \ne T_{ij}x^iy^j$, cioè il risultato della sua azione sui vettori non è intrinseco, ma dipende dalla base?
Grazie
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