Legge di De Morgan in algebre di Boole

[thedarkhero]

Un'algebra di Boole è un reticolo distributivo con minimo ($0$) e massimo ($1$) tale che ogni elemento ammetta un complemento ($b$ è complemento di $a$ se $a \wedge b = 0$ e $a \vee b = 1$).
Voglio dimostrare la legge di De Morgan $C(x \wedge y) = C(x) \vee C(y)$, dove $C(*)$ indica il complementare.
Siccome in un reticolo distributivo il complementare (se esiste) è unico è sufficiente mostrare che $(x \wedge y) \wedge (C(x) \vee C(y)) = 0$ e che $(x \wedge y) \vee (C(x) \vee C(y)) = 1$.
Come posso provare queste due ultime equazioni?

[ghira1]

Puoi usare la proprietà distributiva?

[thedarkhero]

Usando la proprietà distributiva, come mi hai suggerito, una delle due equazioni sono riuscito ad ottenerla:
$(x \wedge y) \wedge (C(x) \wedge C(y)) =$
$= x \wedge (y \wedge (C(x) \wedge C(y))) =$
$= x \wedge ((y \wedge C(x)) \vee (y \wedge C(y))) =$
$= x \wedge ((y \wedge C(x)) \vee 0) =$
$= x \wedge (y \wedge C(x)) =$
$= x \wedge (C(x) \wedge y) =$
$= (x \wedge C(x)) \wedge y =$
$= 0 \wedge y =$
$= 0$.

Non riesco però ad ottenere l'altra, cioè:
$(x \wedge y) \vee (C(x) \wedge C(y)) = 1$.

[ghira1]

"thedarkhero":Usando la proprietà distributiva, come mi hai suggerito, una delle due equazioni sono riuscito ad ottenerla:
$(x \wedge y) \wedge (C(x) \wedge C(y))= 0$.

Non era $(x \wedge y) \wedge (C(c) \vee C(y)) = 0$?

[thedarkhero]

Si, ho fatto un po di confusione.
Ci riprovo.

$(x \wedge y) \wedge (C(x) \vee C(y)) =$
$= ((x \wedge y) \wedge C(x)) \vee ((x \wedge y) \wedge C(y)) =$
$= (x \wedge (y \wedge C(x))) \vee (x \wedge (y \wedge C(y))) =$
$= (x \wedge (C(x) \wedge y)) \vee (x \wedge (y \wedge C(y))) =$
$= ((x \wedge C(x)) \wedge y) \vee (x \wedge (y \wedge C(y))) =$
$= (0 \wedge y) \vee (x \wedge 0) =$
$= 0 \vee 0 =$
$= 0$.

$(x \wedge y) \vee (C(x) \vee C(y)) =$
$= (C(x) \vee C(y)) \vee (x \wedge y) =$
$= ((C(x) \vee C(y)) \vee x) \wedge ((C(x) \vee C(y)) \vee y) =$
$= (C(x) \vee (C(y) \vee x)) \wedge (C(x) \vee (C(y) \vee y)) =$
$= (C(x) \vee (x \vee C(y))) \wedge (C(x) \vee (C(y) \vee y)) =$
$= ((C(x) \vee x) \vee C(y)) \wedge (C(x) \vee (C(y) \vee y)) =$
$= (1 \vee C(y)) \wedge (C(x) \vee 1) =$
$= 1 \wedge 1 =$
$= 1$.

Ora mi sembra che funzioni, grazie!!

Ne approfitto per un altro dubbio sull'argomento: se $x \wedge y \le 0$ (cioè se $x \wedge y = 0$) come posso provare che $x \le C(y)$?

[megas_archon]

Sempre e comunque con la proprietà universale del complemento. C(y) (nelle tue notazioni) è il sup di tutti gli x che intersecano y nel bottom.