Legge di annullamento in $ ZZ $ :: Richiesta dimostrazione
Ciao a tutti,
sto cercando di dimostrare la legge di annullamento del prodotto in [tex]\mathbb{Z}[/tex] ma mi trovo bloccato su un passaggio.
Sebbene infatti già in [tex]\mathbb{Q}[/tex] sia semplice farlo (su questo forum, qui, la spiegazione), se non si dispone dell'elemento inverso della moltiplicazione bisogna inventarsi qualcosa. Io ho provato a inventare qualcosa, e per riuscire nella dimostrazione ho bisogno di assumere per vera la proprietà
P1: Sia [tex]x\neq0[/tex] allora [tex]x \cdot y=x \cdot z \Leftrightarrow y=z[/tex]
Ora, provando a dimostrare P1, non trovo altra via che quella di dover utilizzare la legge di annullamento stessa. Chiaramente non posso farlo perché ho dimostrato quest'ultima basandomi sulla P1 stessa, ma non trovo via d'uscita. Qualche suggerimento? Qui sotto il mio tentativo e il punto dove mi sono bloccato.
Sulla legge dell'annullamento, dimostrato che "se [tex]x=0[/tex] allora [tex]0 \cdot y=0[/tex]" (dimostrato già nel link sopra su [tex]\mathbb{R}[/tex] ma equivalente su [tex]\mathbb{Z}[/tex]), cerco di dimostrare l'implicazione inversa, il "soltanto se". Devo quindi far vedere che se [tex]x\neq0[/tex] necessarimente [tex]y=0[/tex]. Partendo dalla tesi ho dunque:
1) [tex]x \cdot y=0[/tex]
sommo a entrambi i membri [tex]x[/tex]
2) [tex]x \cdot y+x=0+x=x=x \cdot 1[/tex]
la prima uguaglianza segue da 1, la seconda dalla proprietà dell'elemento neutro della somma, la terza dall'elemento neutro della moltiplicazione. Per la proprietà distributiva posso scrivere che
3) [tex]x \cdot y+x=x(y+1)=x \cdot 1[/tex]
da cui la prima uguaglianza segue dalla proprietà distributiva mentre la seconda da 2). Ora se qui ammetto assumo vera la proprietà P1 di cui sopra, ho che 3) implica
4) [tex]y+1=1[/tex] sa cui sommando a entrambi i membri il numero [tex]-1[/tex] ottengo [tex]y=0[/tex], che dimostra la tesi.
Perfetto, devo dimostrare P1 per essere a posto.
Ma prima mi serve dimostrare che [tex]-x=(-1) \cdot x[/tex].
Ecco:
[tex]x+(-x)=0=x \cdot 0=x \cdot (1+(-1))=x \cdot 1+x \cdot (-1)=x+(-1) \cdot x[/tex]
la catena di eguaglianze dovrebbe seguire dalle proprietà fondamentali di somma e moltiplicazione su [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Ora se sommo ad ambi i membri [tex]-x[/tex] ottengo
[tex]-x+x+(-x)=-x+x+(-1) \cdot x[/tex] dalla quale segue
[tex]-x=(-1) \cdot x[/tex]
Ora sono pronto per dimostrare P1. Partendo dalla tesi scrivo:
5) [tex]x \cdot y=x \cdot z[/tex]
sommo ad ambo i membri [tex]-(x \cdot z)[/tex] e ottengo
6) [tex]-(x \cdot z)+x \cdot y=-(x \cdot z)+x \cdot z=0[/tex]
la seconda uguaglianza segue dall'esistenza dell'elemento inverso dell'addizione in [tex]\mathbb{Z}[/tex] da cui
7) [tex]0=-(x \cdot z)+x \cdot y=(-1) \cdot (x \cdot z)+x \cdot y=((-1) \cdot z) \cdot x+x \cdot y=x \cdot ((-1) \cdot z)+x \cdot y=x \cdot (y+(-1) \cdot z)[/tex]
dove la prima uguaglianza segue da 6), la seconda da quando dimostrato sopra, la terza dalla proprietà associativa e commutativa, la quarta ancora dalla commutativa, e la quinta dalla distributiva. Ecco dove mi blocco. Per "levare di mezzo" [tex]x[/tex] dalla mia formula, se potessi utilizzare la legge dell'annullamento, direi che siccome [tex]x\neq0[/tex] deve essere necessariamente [tex]y+(-1) \cdot z=0[/tex] dalla quale segue [tex]y=z[/tex]. Purtroppo non lo posso fare! E' un po' come un gatto che si morde la coda.
Qualche idea?
sto cercando di dimostrare la legge di annullamento del prodotto in [tex]\mathbb{Z}[/tex] ma mi trovo bloccato su un passaggio.
Sebbene infatti già in [tex]\mathbb{Q}[/tex] sia semplice farlo (su questo forum, qui, la spiegazione), se non si dispone dell'elemento inverso della moltiplicazione bisogna inventarsi qualcosa. Io ho provato a inventare qualcosa, e per riuscire nella dimostrazione ho bisogno di assumere per vera la proprietà
P1: Sia [tex]x\neq0[/tex] allora [tex]x \cdot y=x \cdot z \Leftrightarrow y=z[/tex]
Ora, provando a dimostrare P1, non trovo altra via che quella di dover utilizzare la legge di annullamento stessa. Chiaramente non posso farlo perché ho dimostrato quest'ultima basandomi sulla P1 stessa, ma non trovo via d'uscita. Qualche suggerimento? Qui sotto il mio tentativo e il punto dove mi sono bloccato.
Sulla legge dell'annullamento, dimostrato che "se [tex]x=0[/tex] allora [tex]0 \cdot y=0[/tex]" (dimostrato già nel link sopra su [tex]\mathbb{R}[/tex] ma equivalente su [tex]\mathbb{Z}[/tex]), cerco di dimostrare l'implicazione inversa, il "soltanto se". Devo quindi far vedere che se [tex]x\neq0[/tex] necessarimente [tex]y=0[/tex]. Partendo dalla tesi ho dunque:
1) [tex]x \cdot y=0[/tex]
sommo a entrambi i membri [tex]x[/tex]
2) [tex]x \cdot y+x=0+x=x=x \cdot 1[/tex]
la prima uguaglianza segue da 1, la seconda dalla proprietà dell'elemento neutro della somma, la terza dall'elemento neutro della moltiplicazione. Per la proprietà distributiva posso scrivere che
3) [tex]x \cdot y+x=x(y+1)=x \cdot 1[/tex]
da cui la prima uguaglianza segue dalla proprietà distributiva mentre la seconda da 2). Ora se qui ammetto assumo vera la proprietà P1 di cui sopra, ho che 3) implica
4) [tex]y+1=1[/tex] sa cui sommando a entrambi i membri il numero [tex]-1[/tex] ottengo [tex]y=0[/tex], che dimostra la tesi.
Perfetto, devo dimostrare P1 per essere a posto.
Ma prima mi serve dimostrare che [tex]-x=(-1) \cdot x[/tex].
Ecco:
[tex]x+(-x)=0=x \cdot 0=x \cdot (1+(-1))=x \cdot 1+x \cdot (-1)=x+(-1) \cdot x[/tex]
la catena di eguaglianze dovrebbe seguire dalle proprietà fondamentali di somma e moltiplicazione su [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Ora se sommo ad ambi i membri [tex]-x[/tex] ottengo
[tex]-x+x+(-x)=-x+x+(-1) \cdot x[/tex] dalla quale segue
[tex]-x=(-1) \cdot x[/tex]
Ora sono pronto per dimostrare P1. Partendo dalla tesi scrivo:
5) [tex]x \cdot y=x \cdot z[/tex]
sommo ad ambo i membri [tex]-(x \cdot z)[/tex] e ottengo
6) [tex]-(x \cdot z)+x \cdot y=-(x \cdot z)+x \cdot z=0[/tex]
la seconda uguaglianza segue dall'esistenza dell'elemento inverso dell'addizione in [tex]\mathbb{Z}[/tex] da cui
7) [tex]0=-(x \cdot z)+x \cdot y=(-1) \cdot (x \cdot z)+x \cdot y=((-1) \cdot z) \cdot x+x \cdot y=x \cdot ((-1) \cdot z)+x \cdot y=x \cdot (y+(-1) \cdot z)[/tex]
dove la prima uguaglianza segue da 6), la seconda da quando dimostrato sopra, la terza dalla proprietà associativa e commutativa, la quarta ancora dalla commutativa, e la quinta dalla distributiva. Ecco dove mi blocco. Per "levare di mezzo" [tex]x[/tex] dalla mia formula, se potessi utilizzare la legge dell'annullamento, direi che siccome [tex]x\neq0[/tex] deve essere necessariamente [tex]y+(-1) \cdot z=0[/tex] dalla quale segue [tex]y=z[/tex]. Purtroppo non lo posso fare! E' un po' come un gatto che si morde la coda.
Qualche idea?
Risposte
Non vorrei dire cazzate, ma se abbiamo $nm = 0$ con entrambi, diciamo, concordi, poichè la definizione di prodotto è l'iterazione della somma in sostanza abbiamo $m+...+m$ $n$ volte, ovvero un'iterazione finita di "successivo", che in $NN$ è iniettiva e non suriettiva, e non può fare 0.
Se m ed n sono discordi basta considerare $-nm=0$, che è equivalente, e ragionare allo stesso modo.
Ho detto sciocchezze?
Se m ed n sono discordi basta considerare $-nm=0$, che è equivalente, e ragionare allo stesso modo.
Ho detto sciocchezze?
L'idea di base è concorde con il concetto intuitivo, tuttavia come si può formalizzare questo ragionamento?
Direi per induzione.
Cioè dimostrata su $NN$ è sufficiente, si estende a $ZZ$ tranquillamente.
Si può provare anche direttamente, altrimenti prima dimostriamo per induzione (su $a$ in $NN$) che se $b\ne 0$ allora $a \le ab$,
e poi lo applichiamo a $ab = 0$ con $b \ne0$.
Cioè dimostrata su $NN$ è sufficiente, si estende a $ZZ$ tranquillamente.
Si può provare anche direttamente, altrimenti prima dimostriamo per induzione (su $a$ in $NN$) che se $b\ne 0$ allora $a \le ab$,
e poi lo applichiamo a $ab = 0$ con $b \ne0$.
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