Legame tra il concetto di relazione di equivalenza e quello di applicazione

[AlgebristaOrtopedico]

Ciao a tutti Ho un problema con la comprensione del concetto in oggetto che mi sta facendo fumare il cervello Riporto il testo, in nota i miei dubbi.

Sia \(\displaystyle f \) un'applicazione tra due insieme \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \), si può definire una relazione \(\displaystyle \rho_f \) in \(\displaystyle A \) al modo seguente:

\(\displaystyle a \space \rho_f \space b \Longleftrightarrow f(a) = f(b) \)

è facile vedere che si tratta di una relazione di equivalenza[nota]Questo perchè

[*:wqy2p3qc]\(\displaystyle a \space \rho_f \space a \Longleftrightarrow f(a) = f(a) \)[/*:wqy2p3qc][*:wqy2p3qc]\(\displaystyle a \space \rho_f \space b \Longleftrightarrow f(a) = f(b) \) e \(\displaystyle b \space \rho_f \space a \Longleftrightarrow f(b) = f(a) \)[/*:wqy2p3qc][*:wqy2p3qc]\(\displaystyle a \space \rho_f \space b \Longleftrightarrow f(a) = f(b) \) e \(\displaystyle b \space \rho_f \space c \Longleftrightarrow f(b) = f(c) \) allora \(\displaystyle a \space \rho_f \space c \Longleftrightarrow f(a) = f(c) \)[/*:wqy2p3qc][/list:u:wqy2p3qc] è giusto?[/nota]. Per ogni \(\displaystyle b \in B \) risulta \(\displaystyle f^{-1}(\{b\}) = \emptyset \) se \(\displaystyle b \notin Im \space f \), altrimenti \(\displaystyle f^{-1}(\{b\}) = [a] \)[nota]Perché?[/nota], dove \(\displaystyle a \) è un qualunque elemento di \(\displaystyle A \) tale che \(\displaystyle f(a) = b \), e \(\displaystyle [a] \) è la classe di equivalenza di \(\displaystyle a \) modulo \(\displaystyle \rho_f \). Se \(\displaystyle b \in Im \space f \), il sottoinsieme \(\displaystyle f^{-1}(\{b\}) \)[nota]In questa circostanza varrebbe \(\displaystyle f^{-1}(\{b\}) = f^{-1}(\{a\}) \)?[/nota] di \(\displaystyle A \) prende il nome di fibra sull'elemento \(\displaystyle b \).

A questo punto introduce l'insieme quoziente spiegando che le fibre sono i suoi elementi... Allo stesso punto il mio cervello è entrato in loop.

Ho molta confusione HELP!!!

[Epimenide93]

Prima di tutto vediamo di trovarci sulle nozioni fondamentali: cos'è una relazione? Cos'è un'applicazione? Cos'è una relazione d'equivalenza?

"AlgebristaOrtopedico":

Per ogni \(\displaystyle b \in B \) risulta \(\displaystyle f^{-1}(\{b\}) = \emptyset \) se \(\displaystyle b \notin Im \space f \), altrimenti \(\displaystyle f^{-1}(\{b\}) = [a] \)(Perché?)

Com'è fatto \(\displaystyle f^{-1}(\{b\}) \)? Sai che data una relazione d'equivalenza su un insieme ci si ritrova l'insieme partizionato in classi d'equivalenza (lo sai? Sai se vale il viceversa? Se al posto di partizione parlassi di un sottoinsieme dell'insieme delle parti la cosa varrebbe ancora in un verso o nell'altro? Sapresti dimostrare le risposte che hai dato?). Con la relazione da te definita prima, chi è \([a]\)?

Intanto partiamo da qui