Left-elements di un semigruppo numerico generato da due interi

[uomotorta]

Un semigruppo numerico $S$ è un semigruppo in $\mathbb{N}$ tale che $\mathbb{N}\backslash S$ è finito. È noto che esiste sempre un insieme $M$ tale che un elemento in $S$ può essere espresso come somma finita di elementi in $M$ con coefficienti in $\mathbb{N}$. Ad esempio $S=\mathbb{N}\backslash\{1\}$ è il semigruppo numerico generato da $2$ e $3$, e in tal caso scriviamo $S=<2,3>$. Definiamo quanto segue:

- $F(S)=\max\{\mathbb{N}\backslash S\}$ è il numero di Frobenious di $S$;
- $N(S)=\{s\in S: s - $n(S)$ è la cardinalità di $N(S)$.

Si consideri un semigruppo $T=$, con $g.c.d.(m,n)=1$.
Vorrei chiedere gentilmente se qualcuno conosce dei riferimenti (come articoli recenti) in cui gli autori studiano gli elementi in $N(T)$ (non $n(T)$) secondo i generatori $m$ e $n $ di $T$.

[megas_archon]

Che tipo di "studio" vorresti venisse fatto?

[uomotorta]

Se ad esempio consideriamo il semigruppo numerico $S=<2,3>$, allora possiamo dire che $S=\mathbb{N}\backslash \{1\}$, quindi $F(S)=1$ e di conseguenza $N(S)=\{0\}$ banalmente. Complicando, consideriamo i semigruppi numerici due-dimensionali, dove $m=2$ ed $n$ è un qualsiasi dispari, diverso da $3$. Giusto per fissare le idee ad esempio $m=2$ e $n=7$. Allora $S=\mathbb{N}\backslash \{1,3,5\}$, quindi $F(S)=5$ e di conseguenza $N(S)=\{0,2,4\}$. In generale, se $n$ è un dispari qualsiasi, si osserva facilmente che $N(S)$ è formato da tutti i pari che sono minori di $F(S)=n-3$ (essendo noto che, se $S=$, allora $F(S)=ab-a-b-1$ e $n(S)=\frac{(a-1)(b-1)}{2}$ ).

Volevo chiedervi gentilmente se ci sono riferimenti in letteratura sullo studio di $N(T)$, dove $T$ è un semigruppo numerico generato da $m$ e $n$ qualsiasi. Vale a dire, una volta dato $T=$ è stato trovato un "qualcosa" che permetta di individuare gli elementi più piccoli di $F(S)$ noti i generatori $m$ a $n$???

[uomotorta]

Ritorno nuovamente su questo quesito.

Ritraducendo il tutto, il problema si riscrive chiedendo: fissato $T=$, quali sono le coppie ordinate $(i,j)$ di interi non negativi che soddisfano \[ (i+1)m+(j+1)n
Conoscete in letteratura articoli che trattano questa tipologia di disequazioni a soluzioni intere?
Vi ringrazio, saluti.