Latarali di un Sottogruppo e teorema di Lagrange
Ragazzi sicuramente sarò vago ma non capisco il teorema di Lagrange. Ho cercato anche in rete qualche aiuto che sia meno "matematico" ma credo che solo voi con le vostre parole possiate farmi capire a cosa serve questo teorema.
Sul mio libro è scritto così:
Sia $(g,*)$ gruppo. Sia $H$ un sottogruppo di $G$.
def. $R_H={(g_1,g_2) in GxG; g_1*g_2^-1 in H}$
prop.$ R_H$ è una relazione di equivalenza su $G$
Per ogni $g in G$ la classe di equivalenza su $G$ mediante la relazione $R_H$ è:
$[g]_H={y in G;$ esiste $ h in H, $ tale che $ y=hg} = Hg$
$Hg$ si chiama il laterale destro di $H$ in $G$ individuato da $g$.
Secondo voi uno che legge queste cose per la prima volta, cosa capisce??
In particolare non capisco la relazione di equivalenza, inoltre mi servirebbe qualche esempio pratico.
Grazie a tutti.
Sul mio libro è scritto così:
Sia $(g,*)$ gruppo. Sia $H$ un sottogruppo di $G$.
def. $R_H={(g_1,g_2) in GxG; g_1*g_2^-1 in H}$
prop.$ R_H$ è una relazione di equivalenza su $G$
Per ogni $g in G$ la classe di equivalenza su $G$ mediante la relazione $R_H$ è:
$[g]_H={y in G;$ esiste $ h in H, $ tale che $ y=hg} = Hg$
$Hg$ si chiama il laterale destro di $H$ in $G$ individuato da $g$.
Secondo voi uno che legge queste cose per la prima volta, cosa capisce??
In particolare non capisco la relazione di equivalenza, inoltre mi servirebbe qualche esempio pratico.
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao!
Wow, che bella domanda! Vediamo se riesco a farti capire quello che voleva dire il buon Lagrange.
Ascolta, la situazione è questa. (Per spiegarti il tutto premetto un esempio poi ti dico le linee generali della teoria)
Prendi un gruppo, ad esempio $(ZZ_12,+)$, facile facile. Poi consideri un suo sottogruppo, per esempio $H={0,6}$. Sei d'accordo con me nell'affermare che $H$ è un sottogruppo di $ZZ_12$? Spero di sì.
A questo punto uno introduce questa relazione di equivalenza (che, lo so, sembra piovuta dal cielo, ma a forza di studiare algebra ti ci abitui e la "capisci"):
presi $a,b in ZZ_12$ dico che $a sigma b iff a-b in H$. Cioè due elementi sono in relazione se il primo più l'opposto del secondo sta nel sottogruppo.
Ad esempio $1 sigma 7$ perchè $1-7=-6=6 in H$ (perchè $[-6]=[6] in ZZ_12$). Allo stesso modo puoi notare che $5$ NON è in relazione con $7$, perchè la loro differenza ($-2$) non sta in $H$.
Ok fin qui? Non dovrebbero esserci problemi se hai chiaro il discorso sulle relazioni di equivalenza.
Ora ti stupisco: hai notato che $0 sigma 6$? Gli elementi del sottogruppo sono in relazione fra loro... che affare!
Più seriamente, essendo la relazione di equivalenza, possiamo passare al quoziente, sei d'accordo? Quindi dobbiamo studiare gli elementi del quoziente, le classi di equivalenza, che - in questo caso - prendono il nome di (classi) laterali.
Ad esempio la classe di $0$ rispetto alla $sigma$ è data proprio da $H$, che è anche la classe di $6$: $[0]_sigma=[6]_sigma={0,6}=H$.
Qual è la classe di $1$? Eccola: $[1]_sigma={1,7}$ (ti invito a pensarci).
E quella di 2? Volià: $[2]_sigma={2,8}$?
Capisci? Abbiamo detto che la classe di 1 è ${1,7}$; seguimi. La stessa cosa la puoi scrivere in questo modo: $H+[1]$ dove, con tale scrittura, si intende l'insieme i cui elementi sono quelli di H a cui si aggiunto 1. $H={0,6}=> H+[1]={0+1, 6+1}={1,7}$.
Questo è il laterale destro di $H$ in $G$ individuato dalla classe 1.
L'insieme dei laterali (quanti sono in totale?) costituisce l'insieme quoziente $G//H$.
Per ora fermiamoci qui, se è il caso dopo andremo oltre.
Riassumo a livello teorico quanto fatto:
1. preso un gruppo $G$ abbiamo considerato un suo sottogruppo $H$.
2. abbiamo dato una relazione su $G$ che coinvolge anche $H$: $forall a,b in G " " a sigma b iff a-b in H$ (la cui versione moltiplicativa è $ab^-1 in H$)
3. abbiamo cercato di capire la struttura delle classi di equivalenza di questa relazione.
Che cosa devi fare adesso? Per prima cosa capire quanto abbiamo detto e formulare domande qualora non fosse chiaro.
Ti invito inoltre a completare nei dettagli l'esempio (elenca tutte le classi laterali) e a dimostrare - se vuoi - che la $sigma$ costituisce effettivamente una relazione d'equivalenza.
Sono a disposizione.
Take care
Wow, che bella domanda! Vediamo se riesco a farti capire quello che voleva dire il buon Lagrange.
Ascolta, la situazione è questa. (Per spiegarti il tutto premetto un esempio poi ti dico le linee generali della teoria)
Prendi un gruppo, ad esempio $(ZZ_12,+)$, facile facile. Poi consideri un suo sottogruppo, per esempio $H={0,6}$. Sei d'accordo con me nell'affermare che $H$ è un sottogruppo di $ZZ_12$? Spero di sì.
A questo punto uno introduce questa relazione di equivalenza (che, lo so, sembra piovuta dal cielo, ma a forza di studiare algebra ti ci abitui e la "capisci"):
presi $a,b in ZZ_12$ dico che $a sigma b iff a-b in H$. Cioè due elementi sono in relazione se il primo più l'opposto del secondo sta nel sottogruppo.
Ad esempio $1 sigma 7$ perchè $1-7=-6=6 in H$ (perchè $[-6]=[6] in ZZ_12$). Allo stesso modo puoi notare che $5$ NON è in relazione con $7$, perchè la loro differenza ($-2$) non sta in $H$.
Ok fin qui? Non dovrebbero esserci problemi se hai chiaro il discorso sulle relazioni di equivalenza.
Ora ti stupisco: hai notato che $0 sigma 6$? Gli elementi del sottogruppo sono in relazione fra loro... che affare!
Più seriamente, essendo la relazione di equivalenza, possiamo passare al quoziente, sei d'accordo? Quindi dobbiamo studiare gli elementi del quoziente, le classi di equivalenza, che - in questo caso - prendono il nome di (classi) laterali.
Ad esempio la classe di $0$ rispetto alla $sigma$ è data proprio da $H$, che è anche la classe di $6$: $[0]_sigma=[6]_sigma={0,6}=H$.
Qual è la classe di $1$? Eccola: $[1]_sigma={1,7}$ (ti invito a pensarci).
E quella di 2? Volià: $[2]_sigma={2,8}$?
Capisci? Abbiamo detto che la classe di 1 è ${1,7}$; seguimi. La stessa cosa la puoi scrivere in questo modo: $H+[1]$ dove, con tale scrittura, si intende l'insieme i cui elementi sono quelli di H a cui si aggiunto 1. $H={0,6}=> H+[1]={0+1, 6+1}={1,7}$.
Questo è il laterale destro di $H$ in $G$ individuato dalla classe 1.
L'insieme dei laterali (quanti sono in totale?) costituisce l'insieme quoziente $G//H$.
Per ora fermiamoci qui, se è il caso dopo andremo oltre.
Riassumo a livello teorico quanto fatto:
1. preso un gruppo $G$ abbiamo considerato un suo sottogruppo $H$.
2. abbiamo dato una relazione su $G$ che coinvolge anche $H$: $forall a,b in G " " a sigma b iff a-b in H$ (la cui versione moltiplicativa è $ab^-1 in H$)
3. abbiamo cercato di capire la struttura delle classi di equivalenza di questa relazione.
Che cosa devi fare adesso? Per prima cosa capire quanto abbiamo detto e formulare domande qualora non fosse chiaro.
Ti invito inoltre a completare nei dettagli l'esempio (elenca tutte le classi laterali) e a dimostrare - se vuoi - che la $sigma$ costituisce effettivamente una relazione d'equivalenza.
Sono a disposizione.
Take care
Che bella risposta Paolo, non so veramente come ringraziarti.
Vediamo se ho capito:
Inizio col dire che $H$ è sottogruppo di $Z_12$ perchè: è chiuso rispetto all'addizione, infatti $0+6=6 in H$ contiene l'elemento neutro ($0$) e l'opposto di $6$ è $in$ di $H$.
Le classi laterali: se ho capito bene devo sommare a ${0,6}$ e quindi al nostro sottogruppo $H$ le varie classi che appartengono a $Z_12$, suppongo che le classi vadano da $1$ a $11$ perchè ci troviamo in $Z_12$.
e quindi abbiamo:
$[1]= [7]= {1,7}$
$[2]= [8]= {2,8}$
$[3]= [9]={3,9}$
$[4]= [10]={4,10}$
$[5]= [11]={5,11}$
$[6]= {6,0}$
Quindi: tu mi hai scritto che l'insieme dei laterali "che dovrebbero essere 6 (o 11?)" costituisce l'insieme quoziente $G/H$.
Quindi $G/H$ quanto sarebbe?
Per quanto riguarda la relazione di equivalenza, l'ho fatta su un foglio e non ho avuto problemi.
Bene, più o meno ho capito cosa è un laterale anche se non so come spiegarlo se la prof me lo chiedesse.
Vediamo se ho capito:
Inizio col dire che $H$ è sottogruppo di $Z_12$ perchè: è chiuso rispetto all'addizione, infatti $0+6=6 in H$ contiene l'elemento neutro ($0$) e l'opposto di $6$ è $in$ di $H$.
Le classi laterali: se ho capito bene devo sommare a ${0,6}$ e quindi al nostro sottogruppo $H$ le varie classi che appartengono a $Z_12$, suppongo che le classi vadano da $1$ a $11$ perchè ci troviamo in $Z_12$.
e quindi abbiamo:
$[1]= [7]= {1,7}$
$[2]= [8]= {2,8}$
$[3]= [9]={3,9}$
$[4]= [10]={4,10}$
$[5]= [11]={5,11}$
$[6]= {6,0}$
Quindi: tu mi hai scritto che l'insieme dei laterali "che dovrebbero essere 6 (o 11?)" costituisce l'insieme quoziente $G/H$.
Quindi $G/H$ quanto sarebbe?
Per quanto riguarda la relazione di equivalenza, l'ho fatta su un foglio e non ho avuto problemi.
Bene, più o meno ho capito cosa è un laterale anche se non so come spiegarlo se la prof me lo chiedesse.
"Sandruz":
Che bella risposta Paolo, non so veramente come ringraziarti.
Ma figurati, è sempre un piacere. Sono io che ti ringrazio perchè mi permetti di tenermi allenato.
Veniamo a noi:
Inizio col dire che $H$ è sottogruppo di $Z_12$ perchè: è chiuso rispetto all'addizione, infatti $0+6=6 in H$ contiene l'elemento neutro ($0$) e l'opposto di $6$ è $in$ di $H$.
Sì, va bene. Ti faccio notare che $6$ è l'unico elemento in $ZZ_12$ che coincide con il suo opposto: $6+6=0$.
Le classi laterali: se ho capito bene devo sommare a ${0,6}$ e quindi al nostro sottogruppo $H$ le varie classi che appartengono a $Z_12$, suppongo che le classi vadano da $1$ a $11$ perchè ci troviamo in $Z_12$.
e quindi abbiamo:
$[1]= [7]= {1,7}$
$[2]= [8]= {2,8}$
$[3]= [9]={3,9}$
$[4]= [10]={4,10}$
$[5]= [11]={5,11}$
$[6]= {6,0}$
Quindi: tu mi hai scritto che l'insieme dei laterali "che dovrebbero essere 6 (o 11?)" costituisce l'insieme quoziente $G/H$.
Quindi $G/H$ quanto sarebbe?
Va quasi tutto bene. Solo una curiosità: perchè non ti piace lo $0$?
C'è anche lui poveretto! Comunque, la sua classe coincide quella di 6 per ovvi motivi.
Per quanto riguarda la relazione di equivalenza, l'ho fatta su un foglio e non ho avuto problemi.
Ottimo.
Adesso, ascoltami.
Hai trovato 6 laterali in tutto: significa che hai decomposto il gruppo di partenza in 6 pezzi distinti, i laterali appunto. Ti ricordo infatti che una relazione d'equivalenza determina una partizione dell'insieme di partenza: con partizione intendo una famiglia di insiemi non vuoti a due a due disgiunti, la cui unione dia tutto l'insieme.
Puoi scrivere $G//H={H,H+1,H+2,H+3,H+4,H+5}$: sei d'accordo?
Adesso, usa la tua intuzione: ci sono 6 laterali e il gruppo di partenza ($ZZ_12$) aveva 12 elementi. Una bella coincidenza, non trovi?
Già, perchè $12=6 xx 2$: da dove salta fuori 'sto 2? Prova un po' a contare gli elementi di $H$...
Vuoi sapere che cos'è questo? Semplice, quanto sbalorditivo: è il teorema di Lagrange.
Fammi sapere se è tutto chiaro fin qui; se è così andiamo avanti cercando di generalizzare.
Comunque Paolo, quello che ho scritto nel primo messaggio non è il Teorema di Lagrange ovviamente, mi sono confuso e ti ringrazio perchè hai capito subito che sono così impacciato da aver scambiato le cose:
Ti scrivo il Teorema così come sta sul mio libro:
Siano $(G,*)$ un gruppo finito e sia $|G|=n$. Se $H$ è un sottogruppo di $G$, si ha: $|H| | n$.
Ti scrivo il Teorema così come sta sul mio libro:
Siano $(G,*)$ un gruppo finito e sia $|G|=n$. Se $H$ è un sottogruppo di $G$, si ha: $|H| | n$.
Quindi Lagrange dice che se divido il numero degli elementi di un gruppo per il numero dei sui laterali ottengo... cosa ottengo? 
"Sandruz":
Quindi Lagrange dice che se divido il numero degli elementi di un gruppo per il numero dei sui laterali ottengo... cosa ottengo?
Sì, più o meno....
Ti ricordo che i laterali esistono solo in virtù di un sottogruppo (cioè puoi parlare di laterali solo se hai un sottogruppo: chiaro vero?).
In altre parole, se tu hai un gruppo $G$ finito (di ordine $g$) e un suo sottogruppo $H$ che ha $h$ elementi, allora il numero di laterali è $g/h$.
In realtà, il risultato è molto più potente di quanto sembri, basta leggerlo al contrario: nella sua forma più nota, Lagrange afferma che "in gruppo finito, l'ordine di un sottogruppo è un divisore dell'ordine del gruppo" (prima domanda dello scritto di teoria di Algebra I).
Un'applicazione immediata: prendi un gruppo di ordine 60. Può avere un sottogruppo di ordine 7?
No perchè 7 non divide 60.
That's correct.
E' tutto più o meno chiaro?
E' tutto più o meno chiaro?
Assolutamente si, molto meglio di prima. Mi sto preparando un argomento da sapere bene nel caso in cui la prof mi chiedesse qualcosa a piacere e avevo intenzione di parlare dei gruppi, sottogruppi e teorema di Lagrange. Hai qualche consiglio da darmi su quale scaletta seguire?
Grazie ancora Paolo non voglio sottrarti altro tempo.
Grazie ancora Paolo non voglio sottrarti altro tempo.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo