L'anello $\mathbb{Z}_2^X$ come anello artiniano

[Misterx76]

Innanzitutto un saluto a tutti!

Vi chiedo un aiuto. Ho trovato un esercizio secondo il quale l'anello $\mathbb{Z}_2^X$ delle funzioni $f:X\to \mathbb{Z}_2$ è un anello artiniano (che soddisfa la condizione della catena discendente per gli ideali). Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento per la dimostrazione?
Grazie.

[hydro1]

Che cos'è $X$?

[Misterx76]

$X$ è semplicemente un insieme.

[solaàl]

In generale non è vero che gli ideali di un prodotto infinito \(\prod R_\alpha\) sono della forma \(\prod I_\alpha\), ma forse è vero nel caso in cui ogni \(R_\alpha\) sia \(\mathbb Z_2\); proverei a dimostrare quello; e allora, poi, stai considerando un poset abbastanza semplice da descrivere.

[hydro1]

Non credo che quell'anello sia artiniano. Ad esempio prendi $X=\mathbb R$ e per ogni $n\geq 1$ definisci $I_n=\{f: X\to \mathbb Z_2:f(1)=\ldots =f(n)=0\}$. Allora $I_1\supset I_2\supset \ldots\supset I_n\supset\ldots$ è una catena discendente infinita di ideali che non è stazionaria.