L'anello degli interi di gauss e' un anello euclideo??
Buongiorno, ho la dimostrazione che un anello degli interi di gauss e' un dominio euclideo, ma ho un dubbio su questa e sugli esercizi che poi si risolvono allo stesso modo.
L'anello degli interi di Gauss e' un dominio euclideo rispetto alla funzione $N(a+ib)=a^2+b^2$
dimostrazione
Per ogni a,b so che la norma e' moltiplicativa, quindi $N(a/b)=N(a)/(N(b))$
Posso dire che l'anello $Z$ e' euclideo se per ogni due elementi $a,b$ in $Z$ esiste q in $Z$ tale che $N(a-qb)
dividendo per $N(b)$ si trova che la nuova disequazione e' $N(a/b-q)<1$
scrivo $a/b=c+id$ con c,d appartenenti a $Q$
fino a qui tutto chiaro, quello che non capisco e' il pezzo di dimostrazione seguente
Siano $m,n$ in $Z$ tali che $|c-m|<=(1/2)$ e $|d-n|<=(1/2)$ da dove viene 1/2????
definisco $q=m+ni$ allora $a/b-q=e+if$ con $|e|<=(1/2)$ e $|f|<=(1/2)$ quindi
$N(a/b-q)=N(e+if)<=(1/2)^2+(1/2)^2=(1/2)<1$
se ad esempio avessi avuto invece che $N(a+ib)=a^2+b^2$ $N(a+ib)=a^2+5b^2$ sarebbe cambiato qualcosa quando mette $|c-m|<=(1/2)$???
L'anello degli interi di Gauss e' un dominio euclideo rispetto alla funzione $N(a+ib)=a^2+b^2$
dimostrazione
Per ogni a,b so che la norma e' moltiplicativa, quindi $N(a/b)=N(a)/(N(b))$
Posso dire che l'anello $Z$ e' euclideo se per ogni due elementi $a,b$ in $Z$ esiste q in $Z$ tale che $N(a-qb)
scrivo $a/b=c+id$ con c,d appartenenti a $Q$
fino a qui tutto chiaro, quello che non capisco e' il pezzo di dimostrazione seguente
Siano $m,n$ in $Z$ tali che $|c-m|<=(1/2)$ e $|d-n|<=(1/2)$ da dove viene 1/2????
definisco $q=m+ni$ allora $a/b-q=e+if$ con $|e|<=(1/2)$ e $|f|<=(1/2)$ quindi
$N(a/b-q)=N(e+if)<=(1/2)^2+(1/2)^2=(1/2)<1$
se ad esempio avessi avuto invece che $N(a+ib)=a^2+b^2$ $N(a+ib)=a^2+5b^2$ sarebbe cambiato qualcosa quando mette $|c-m|<=(1/2)$???