L'anello degli interi di gauss e' un anello euclideo??

ludovica.sarandrea
Buongiorno, ho la dimostrazione che un anello degli interi di gauss e' un dominio euclideo, ma ho un dubbio su questa e sugli esercizi che poi si risolvono allo stesso modo.
L'anello degli interi di Gauss e' un dominio euclideo rispetto alla funzione $N(a+ib)=a^2+b^2$
dimostrazione
Per ogni a,b so che la norma e' moltiplicativa, quindi $N(a/b)=N(a)/(N(b))$
Posso dire che l'anello $Z$ e' euclideo se per ogni due elementi $a,b$ in $Z$ esiste q in $Z$ tale che $N(a-qb) dividendo per $N(b)$ si trova che la nuova disequazione e' $N(a/b-q)<1$
scrivo $a/b=c+id$ con c,d appartenenti a $Q$

fino a qui tutto chiaro, quello che non capisco e' il pezzo di dimostrazione seguente
Siano $m,n$ in $Z$ tali che $|c-m|<=(1/2)$ e $|d-n|<=(1/2)$ da dove viene 1/2????
definisco $q=m+ni$ allora $a/b-q=e+if$ con $|e|<=(1/2)$ e $|f|<=(1/2)$ quindi
$N(a/b-q)=N(e+if)<=(1/2)^2+(1/2)^2=(1/2)<1$

se ad esempio avessi avuto invece che $N(a+ib)=a^2+b^2$ $N(a+ib)=a^2+5b^2$ sarebbe cambiato qualcosa quando mette $|c-m|<=(1/2)$???

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