La successione di Fibonacci
La successione di Fibonacci e',come noto,data da:
F0=0,F1=1,F2=1 e F(i)=F(i-2)+F(i-1) per i>2.
Essa ha una infinita' di proprieta' tra cui ne
ho scelta una (abbastanza semplice):
Dimostrare che due termini consecutivi della successione
( a partire dal quarto ) sono coprimi ,cioe' primi tra loro.
karl.
Modificato da - karl il 18/02/2004 23:04:16
F0=0,F1=1,F2=1 e F(i)=F(i-2)+F(i-1) per i>2.
Essa ha una infinita' di proprieta' tra cui ne
ho scelta una (abbastanza semplice):
Dimostrare che due termini consecutivi della successione
( a partire dal quarto ) sono coprimi ,cioe' primi tra loro.
karl.
Modificato da - karl il 18/02/2004 23:04:16
Risposte
Se due termini consecutivi avessero un fattore in comune allora, per la relazione ricorsiva, l'avrebbero tutti i termini sia seguenti che precedenti. Ma tra i termini c'è il numero 1 e quindi l'unico fattore comune a due termini consecutivi è 1.
Cavia
Cavia
Forse ci sono:
Siano f(i+1) e f(i) i numeri di cui si vuole verificare la coprimalità.
Sia f(i)= a*b*c*.... con a,b,c fattori primi (eventualmente con molteplicità > 1 )
Se f(i+1) non fosse coprimo a f(i) vorrebbe dire che la loro differenza è divisibile per qualcuno dei fattori primi di f(i).
La differenza f(i+1)-f(i)=f(i-1) dunque il problema si risolve se f(i) e f(i-1) sono coprimi tra loro.
Andando avanti troviamo che f(3)=2 è primo rispetto a f(4)=3 e per induzione la tesi.
P.S Ho problemi con il più, non me lo scrive. Qualcuno sa perchè?
Siano f(i+1) e f(i) i numeri di cui si vuole verificare la coprimalità.
Sia f(i)= a*b*c*.... con a,b,c fattori primi (eventualmente con molteplicità > 1 )
Se f(i+1) non fosse coprimo a f(i) vorrebbe dire che la loro differenza è divisibile per qualcuno dei fattori primi di f(i).
La differenza f(i+1)-f(i)=f(i-1) dunque il problema si risolve se f(i) e f(i-1) sono coprimi tra loro.
Andando avanti troviamo che f(3)=2 è primo rispetto a f(4)=3 e per induzione la tesi.
P.S Ho problemi con il più, non me lo scrive. Qualcuno sa perchè?
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P.S. Il problema con il + me lo da solo in anteprima
P.S. Il problema con il + me lo da solo in anteprima
In ogni caso sarebbe più corretto parlare di "successione" di Fibonacci piuttosto che di "serie".
Cavia
Cavia
Una cosa non ho capito: perché " a partire dal quarto"? I primi quattro termini sono 0,1,1,2. Mi sembra che ciascuno sia coprimo col successivo, no?
Cavia
Cavia
Un numero vedendo due termini consecutivi della successione di Fibonacci dice: - Coprimi!-
E il più vicino dei due: - Con cosa vuoi che ti copra? -
Cavia
E il più vicino dei due: - Con cosa vuoi che ti copra? -
Cavia
Ok! Ora che abbiamo rotto il ghiaccio con
La successionedi Fibonacci,ve ne posto un'altra
( a mio parere un po' piu' articolata):
Dimostrare che il M.C.D. tra F(n) ed F(m)
e' F(r),essendo r il M.C.D. tra n ed m.
M.C.D.=massimo comune divisore.
Ad es. sia F8=21 ed F12=144,allora:
M.C.D.(F8,F12)=3=F4,essendo 4=M.C.D.(8,12).
Grazie per la correzione:in verita' stavo studiando una serie
in cui c'entra anche la succesione di Fibonacci ed e' scappato
il lapsus ( magari in seguito la posto;ho avuto difficolta' a
risolverla).
karl.
Modificato da - karl il 18/02/2004 23:08:14
La successionedi Fibonacci,ve ne posto un'altra
( a mio parere un po' piu' articolata):
Dimostrare che il M.C.D. tra F(n) ed F(m)
e' F(r),essendo r il M.C.D. tra n ed m.
M.C.D.=massimo comune divisore.
Ad es. sia F8=21 ed F12=144,allora:
M.C.D.(F8,F12)=3=F4,essendo 4=M.C.D.(8,12).
Grazie per la correzione:in verita' stavo studiando una serie
in cui c'entra anche la succesione di Fibonacci ed e' scappato
il lapsus ( magari in seguito la posto;ho avuto difficolta' a
risolverla).
karl.
Modificato da - karl il 18/02/2004 23:08:14
Si può estendere la dimostrazione a tre termini successivi.
(riferito al primo quesito)
Modificato da - pachito il 18/02/2004 23:07:37
(riferito al primo quesito)
Modificato da - pachito il 18/02/2004 23:07:37
Scriverò in dettaglio la risposta che ho trovato domani (sto crollando dal sonno!). In due parole si tratta di questo: usando l'algoritmo di Euclide per il MDC mediante sottrazioni consecutive si vede che c'è una perfetta corrispondenza tra i confronti e le sottrazioni tra le coppie del tipo F(i) e F(j) e le corrispondenti coppie i e j.
Buona notte.
Cavia
Buona notte.
Cavia
Curiose proprietà queste successioni!
Nel cercare di risolvere quest'ultimo quesito, ne ho trovato una: I numeri di Fibonacci che hanno per indice un numero primo, sono primi.
Es. f(3)=2, f(5)=5, f(7)=13, f(11)=89, f(13)=233 ecc.
La dimostrazione è un corollario della proposizione precedente.
Modificato da - pachito il 18/02/2004 23:56:00
Nel cercare di risolvere quest'ultimo quesito, ne ho trovato una: I numeri di Fibonacci che hanno per indice un numero primo, sono primi.
Es. f(3)=2, f(5)=5, f(7)=13, f(11)=89, f(13)=233 ecc.
La dimostrazione è un corollario della proposizione precedente.
Modificato da - pachito il 18/02/2004 23:56:00
Per Cavia:
Se non avessi capito quello che volevi dire,si potrebbe pensare che
fai oggi le cose che "hai trovato domani".Permettimi lo scherzo.
Con simpatia,buonanotte da karl.
citazione:
Scriverò in dettaglio la risposta che ho trovato domani
Se non avessi capito quello che volevi dire,si potrebbe pensare che
fai oggi le cose che "hai trovato domani".Permettimi lo scherzo.
Con simpatia,buonanotte da karl.
citazione:
Curiose proprietà queste successioni!
Nel cercare di risolvere quest'ultimo quesito, ne ho trovato una: I numeri di Fibonacci che hanno per indice un numero primo, sono primi.
Es. f(3)=2, f(5)=5, f(7)=13, f(11)=89, f(13)=233 ecc.
La dimostrazione è un corollario della proposizione precedente.
Modificato da - pachito il 18/02/2004 23:56:00
Salve,
la proprietà che hai scoperto mi ha molto incuriosito
ma ho verificato per Fib(19) si ha 4181 che non è primo.
leonardo: quello che tu scrivi lo devi mettere fuori dai quote della citazione...
comunque quello che dici è vero: F(19)=4181 che non è primo.
p.s. mi dispiace per pachito... avrebbe altrimenti scoperto un potentissimo algoritmo per generare primi a quantità industriali!!
ciao, ubermensch
comunque quello che dici è vero: F(19)=4181 che non è primo.
p.s. mi dispiace per pachito... avrebbe altrimenti scoperto un potentissimo algoritmo per generare primi a quantità industriali!!
ciao, ubermensch
Ok. Confesso che non ci ho pensato molto su, ma la mia idea era:
Dunque se prendo n primo F(n) non sarà divisibile per nessuno dei numeri F(m) con m primo (anzi in generale per nessuno dei F(m) precedenti. Il guaio è che non tutti i numeri primi sono di Fibonacci...
Nella versione iniziale, avevo presentato la cosa come una curiosa coincidenza e lasciato che qualcuno la dimostrasse o la confutasse.
Poi vicino alla mezzanotte il colpo di genio....
citazione:
il M.C.D. tra F(n) ed F(m)e' F(r),essendo r il M.C.D. tra n ed m
Dunque se prendo n primo F(n) non sarà divisibile per nessuno dei numeri F(m) con m primo (anzi in generale per nessuno dei F(m) precedenti. Il guaio è che non tutti i numeri primi sono di Fibonacci...
citazione:
Modificato da - pachito il 18/02/2004 23:56:00
Nella versione iniziale, avevo presentato la cosa come una curiosa coincidenza e lasciato che qualcuno la dimostrasse o la confutasse.
Poi vicino alla mezzanotte il colpo di genio....
Salve,
ho scritto la formula per la sommatoria da 1 a n
degli elementi della successione
x=n
= Fib(n+1) + Fib(n) -1
x=1
ciao
ho scritto la formula per la sommatoria da 1 a n
degli elementi della successione
x=n
= Fib(n+1) + Fib(n) -1x=1
ciao
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