La cardinalità del continuo è uguale a 2^N_0
buona domenica a tutti
come da titolo, l'obiettivo è: dimostrare che #\(\displaystyle \mathbb{R}=\mathfrak{c} \) è uguale a #\(\displaystyle P(\mathbb {N})=2^{{\aleph}_0}\). Ho provato a procedere in questo modo:
1) trovo una funzione iniettiva da \(\displaystyle \mathbb{R} \) a \(\displaystyle P(\mathbb{Q}) \): allora \(\displaystyle \mathfrak{c} \leq 2^{\aleph_0} \)
2) trovo una funzione iniettiva da \(\displaystyle P(\mathbb{N}) \) a \(\displaystyle \mathbb{R} \): allora \(\displaystyle \mathfrak{c} \geq 2^{\aleph_0} \)
ne consegue che \(\displaystyle \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} \)
punto 1: ogni reale può essere espresso come il limite di una successione convergente di razionali (è un modo per costruire i numeri reali). Per ogni reale \(\displaystyle \alpha \), scegliamo una successione CRESCENTE di razionali convergente ad \(\displaystyle \alpha \) (possiamo sceglierne una fatta in questo modo perchè, presa una successione \(\displaystyle x_n \) convergente ad \(\displaystyle \alpha \), possiamo costruire la successione \(\displaystyle y_n \) tale che \(\displaystyle x_0=y_0 \) e, se \(\displaystyle x_i>x_i-1 \) lo mettiamo nella nostra successione \(\displaystyle y_n \), mentre in caso contrario non lo mettiamo. La successione ottenuta è convergente ad \(\displaystyle \alpha \) perchè \(\displaystyle x_n \) è fondamentale.
In questo modo ad ogni reale associamo un sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) : se il sottoinsieme è discreto, la successione è definitivamente costante e il reale è un razionale. Se il sottoinsieme è infinito, esso identifica una SOLA successione, la quale ammette un unico limite. Dunque la funzione è iniettiva.
punto 2: consideriamo un sottoinsieme generico di \(\displaystyle \mathbb{N}^+ \) del tipo \(\displaystyle \{a_0,a_1,....\} \) con \(\displaystyle a_i
Può andare bene? Nel primo punto ho fatto uso dell'assioma di scelta, ma questo teorema può essere dimostrato anche senza di esso?
come da titolo, l'obiettivo è: dimostrare che #\(\displaystyle \mathbb{R}=\mathfrak{c} \) è uguale a #\(\displaystyle P(\mathbb {N})=2^{{\aleph}_0}\). Ho provato a procedere in questo modo:
1) trovo una funzione iniettiva da \(\displaystyle \mathbb{R} \) a \(\displaystyle P(\mathbb{Q}) \): allora \(\displaystyle \mathfrak{c} \leq 2^{\aleph_0} \)
2) trovo una funzione iniettiva da \(\displaystyle P(\mathbb{N}) \) a \(\displaystyle \mathbb{R} \): allora \(\displaystyle \mathfrak{c} \geq 2^{\aleph_0} \)
ne consegue che \(\displaystyle \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} \)
punto 1: ogni reale può essere espresso come il limite di una successione convergente di razionali (è un modo per costruire i numeri reali). Per ogni reale \(\displaystyle \alpha \), scegliamo una successione CRESCENTE di razionali convergente ad \(\displaystyle \alpha \) (possiamo sceglierne una fatta in questo modo perchè, presa una successione \(\displaystyle x_n \) convergente ad \(\displaystyle \alpha \), possiamo costruire la successione \(\displaystyle y_n \) tale che \(\displaystyle x_0=y_0 \) e, se \(\displaystyle x_i>x_i-1 \) lo mettiamo nella nostra successione \(\displaystyle y_n \), mentre in caso contrario non lo mettiamo. La successione ottenuta è convergente ad \(\displaystyle \alpha \) perchè \(\displaystyle x_n \) è fondamentale.
In questo modo ad ogni reale associamo un sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) : se il sottoinsieme è discreto, la successione è definitivamente costante e il reale è un razionale. Se il sottoinsieme è infinito, esso identifica una SOLA successione, la quale ammette un unico limite. Dunque la funzione è iniettiva.
punto 2: consideriamo un sottoinsieme generico di \(\displaystyle \mathbb{N}^+ \) del tipo \(\displaystyle \{a_0,a_1,....\} \) con \(\displaystyle a_i
Può andare bene? Nel primo punto ho fatto uso dell'assioma di scelta, ma questo teorema può essere dimostrato anche senza di esso?
Risposte
up
Salve bestiedda2,
potresti riscrivere e riformulare meglio le proprietà che vuoi dimostrate.
Cordiali saluti
potresti riscrivere e riformulare meglio le proprietà che vuoi dimostrate.
Cordiali saluti
voglio dimostrare che la cardinalità del continuo è uguale alla cardinalità dell'insieme delle parti dei naturali
Salve bestiedda2,
prova guardare qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit ... l_continuo
Cordiali saluti
prova guardare qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit ... l_continuo
Cordiali saluti
mi chiedevo semplicemente se la mia dimostrazione era giusta....ci sono mille modi per dimostrare questo fatto ne sono consapevole!
Mi pare che vada bene (le idee sono giuste, anche se la redazione lascia un po' a desiderare (non me ne volere)). Non sono sicuro della seconda parte perché non so molto di frazioni continue. Comunque io per dimostrare questo fatto mi trovo molto più a mio agio a pensare a un numero reale scritto in base due (o dieci, o ventisette, non importa).
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