$L_(S_n) A_n$
Chiarimento:
Perchè $L_(S_n) A_n =<1>$?
Perchè $L_(S_n) A_n =<1>$?
Risposte
Cos'e' [tex]L_{S_n}(A_n)[/tex]? Fai riferimento a questo? Sottogruppo di [tex]S_n[/tex] generato da cosa?
Si. Quindi sto considerando il sottogruppo di $S_n$ generato dalle permutazioni pari?; quell'1 sta ad indicare proprio le permutazioni identica?
Non capisco la notazione.
Tu stai dicendo che se [tex]G[/tex] e' un gruppo e [tex]S[/tex] e' un suo sottoinsieme allora [tex]L_G(S)[/tex] indica il sottogruppo di [tex]G[/tex] generato da [tex]S[/tex]?
In questo caso mi sembra ovvio che se [tex]S[/tex] e' gia' un sottogruppo di [tex]G[/tex] allora [tex]L_G(S)=S[/tex]. Quindi [tex]L_{S_n}(A_n)=A_n[/tex].
Tu stai dicendo che se [tex]G[/tex] e' un gruppo e [tex]S[/tex] e' un suo sottoinsieme allora [tex]L_G(S)[/tex] indica il sottogruppo di [tex]G[/tex] generato da [tex]S[/tex]?
In questo caso mi sembra ovvio che se [tex]S[/tex] e' gia' un sottogruppo di [tex]G[/tex] allora [tex]L_G(S)=S[/tex]. Quindi [tex]L_{S_n}(A_n)=A_n[/tex].
E' lo stesso problema che sto trovando anche io, non riesco a capire cosa indicano questi simboli, sto facendo solo delle supposizioni; io avevo pensato che $L_(S_n) A_n$ è il sottogruppo generato in $S_n$ da $A_n$; cioè dalle permutazioni pari; però poi mi ritrovo con un nuovo simbolo, che credo indichi il sottogruppo generato 1. Ma....., sono fuso...!!!!!
Come si chiama il libro che stai seguendo? Ho capito che è di Donald S. Passman (giusto?), ma qual è il titolo?
Leggilo attentamente, è impossibile che in un libro venga usata una notazione non introdotta in precedenza.
Leggilo attentamente, è impossibile che in un libro venga usata una notazione non introdotta in precedenza.
Penso che faccia agire $A_n$ su $S_n$ in qualche modo ma non saprei a cosa di riferisce. In ogni caso il libro non può non spiegarlo... anche solo nell'indice delle notazioni (se c'è).
P.S: Penso che sia "permutation group" (ho guardato i libri di Passaman) ma non ce l'ho quindi non posso aiutare.
P.S: Penso che sia "permutation group" (ho guardato i libri di Passaman) ma non ce l'ho quindi non posso aiutare.
Il problema è che non ho il libro intero, ma solo una parte di esso, comunque il libro è : Passman Permutation Groups 1968
Lunedì lo potrò sfogliare in biblioteca. Ti farò sapere 
Grazie mille XD
Ho il libro sottomano. In effetti non chiarisce mai la notazione (pazzesco), comunque intende il centralizzante di [tex]A_n[/tex] in [tex]S_n[/tex]:
[tex]\mathcal{L}_{S_n}(A_n) = C_{S_n}(A_n) = \{x \in S_n\ |\ xa=ax\ \forall a \in A_n\}[/tex].
[tex]\mathcal{L}_{S_n}(A_n) = C_{S_n}(A_n) = \{x \in S_n\ |\ xa=ax\ \forall a \in A_n\}[/tex].
E come fa a dire che è uguale al sottogruppo generato da 1?, non lo riesco a capire.....
Cosa intendi con "sottospazio"? Intendi "sottogruppo", naturalmente. Osserva che (banalmente) [tex]\langle 1 \rangle = \{1\}[/tex].
Ricorda che
[tex]C_{S_n}(A_n) = \{\sigma \in S_n\ |\ \sigma a=a \sigma\ \forall a \in A_n\} = \{ x \in S_n\ |\ a^{\sigma} = a\ \forall a \in A_n\}[/tex],
dove [tex]a^{\sigma} = \sigma a \sigma^{-1}[/tex] e' l'azione di coniugio a sinistra. Ora il coniugio in [tex]S_n[/tex] agisce in questo modo: se [tex](i_1,...,i_k)[/tex] e' un ciclo di lunghezza [tex]k[/tex] e [tex]\sigma \in S_n[/tex] allora
[tex](i_1, ..., i_k)^{\sigma} = (\sigma(i_1), ..., \sigma(i_k))[/tex].
Ora mettiti in [tex]S_n[/tex] con [tex]n \geq 4[/tex] (come nell'ipotesi a pagina 34). [tex]C_{S_n}(A_n)[/tex] consiste di quei [tex]\sigma \in S_n[/tex] che commutano con tutti gli elementi di [tex]A_n[/tex], cioe' fissano tramite l'azione di coniugio qui sopra tutte le permutazioni pari.
Un modo utile per dimostrare che [tex]C_{S_n}(A_n) = \{1\}[/tex] e' questo: osserva che se [tex]H \leq G[/tex] sono due gruppi con [tex]H[/tex] normale in [tex]G[/tex] allora [tex]C_G(H)[/tex] e' anch'esso normale in [tex]G[/tex] (prova a dimostrarlo, non e' difficile). Quindi [tex]C_{S_n}(A_n) \unlhd S_n[/tex]. Ma come hai visto nel teorema 4.7 del Passman l'unico sottogruppo normale non banale di [tex]S_n[/tex] e' [tex]A_n[/tex] se [tex]n \geq 5[/tex]. Quindi per mostrare che [tex]C_{S_n}(A_n) = \{1\}[/tex] basta mostrare che [tex]C_{S_n}(A_n) \neq A_n,S_n[/tex]. Se non fosse cosi' [tex]A_n[/tex] sarebbe in particolare commutativo, assurdo. Questo non dimostra il fatto nel caso [tex]n=4[/tex] (che si fa facilmente a mano), ma il bello di questo procedimento e' che usa un fatto che e' estremamente utile sapere (il teorema 4.7: la struttura normale di [tex]S_n[/tex]).
Per capire come funziona l'azione di coniugio in [tex]S_n[/tex] puoi provare a risolvere il caso [tex]n=4[/tex]. Osserva che una permutazione che centralizza [tex]A_4[/tex] deve fissare in particolare [tex](123)[/tex] e [tex](12)(34)[/tex]...
Ricorda che
[tex]C_{S_n}(A_n) = \{\sigma \in S_n\ |\ \sigma a=a \sigma\ \forall a \in A_n\} = \{ x \in S_n\ |\ a^{\sigma} = a\ \forall a \in A_n\}[/tex],
dove [tex]a^{\sigma} = \sigma a \sigma^{-1}[/tex] e' l'azione di coniugio a sinistra. Ora il coniugio in [tex]S_n[/tex] agisce in questo modo: se [tex](i_1,...,i_k)[/tex] e' un ciclo di lunghezza [tex]k[/tex] e [tex]\sigma \in S_n[/tex] allora
[tex](i_1, ..., i_k)^{\sigma} = (\sigma(i_1), ..., \sigma(i_k))[/tex].
Ora mettiti in [tex]S_n[/tex] con [tex]n \geq 4[/tex] (come nell'ipotesi a pagina 34). [tex]C_{S_n}(A_n)[/tex] consiste di quei [tex]\sigma \in S_n[/tex] che commutano con tutti gli elementi di [tex]A_n[/tex], cioe' fissano tramite l'azione di coniugio qui sopra tutte le permutazioni pari.
Un modo utile per dimostrare che [tex]C_{S_n}(A_n) = \{1\}[/tex] e' questo: osserva che se [tex]H \leq G[/tex] sono due gruppi con [tex]H[/tex] normale in [tex]G[/tex] allora [tex]C_G(H)[/tex] e' anch'esso normale in [tex]G[/tex] (prova a dimostrarlo, non e' difficile). Quindi [tex]C_{S_n}(A_n) \unlhd S_n[/tex]. Ma come hai visto nel teorema 4.7 del Passman l'unico sottogruppo normale non banale di [tex]S_n[/tex] e' [tex]A_n[/tex] se [tex]n \geq 5[/tex]. Quindi per mostrare che [tex]C_{S_n}(A_n) = \{1\}[/tex] basta mostrare che [tex]C_{S_n}(A_n) \neq A_n,S_n[/tex]. Se non fosse cosi' [tex]A_n[/tex] sarebbe in particolare commutativo, assurdo. Questo non dimostra il fatto nel caso [tex]n=4[/tex] (che si fa facilmente a mano), ma il bello di questo procedimento e' che usa un fatto che e' estremamente utile sapere (il teorema 4.7: la struttura normale di [tex]S_n[/tex]).
Per capire come funziona l'azione di coniugio in [tex]S_n[/tex] puoi provare a risolvere il caso [tex]n=4[/tex]. Osserva che una permutazione che centralizza [tex]A_4[/tex] deve fissare in particolare [tex](123)[/tex] e [tex](12)(34)[/tex]...
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