\(K(X^{p^{-i}})=K(X)^{p^{-i}}\)
Ciao amici! Se \(K(X)^{p^{-i}}\) è il campo delle radici $p^i$-esime del campo delle frazioni \(K(X)\), leggo che \(K(X^{p^{-i}})=K(X)^{p^{-i}}\).
L'inclusione \(K(X^{p^{-i}})\subset K(X)^{p^{-i}}\) mi è chiara, ma non mi riesco a convincere dell'inclusione opposta. Per esempio non mi sarei aspettato che, se $k^{p^{-i}}$ è una radice $p^i$-esima di un elemento $k\in K$, esso si trova in \(K(X^{p^{-i}})\)...
Qualcuno mi potrebbe convincere di questo fatto?
Ri-ri-...-rigrazie a tutti...!
L'inclusione \(K(X^{p^{-i}})\subset K(X)^{p^{-i}}\) mi è chiara, ma non mi riesco a convincere dell'inclusione opposta. Per esempio non mi sarei aspettato che, se $k^{p^{-i}}$ è una radice $p^i$-esima di un elemento $k\in K$, esso si trova in \(K(X^{p^{-i}})\)...
Qualcuno mi potrebbe convincere di questo fatto?
Ri-ri-...-rigrazie a tutti...!
Risposte
...mi sta persino venendo il dubbio che si tratti di un errore di stampa... Se anche così fosse, sarebbe praticamente il primo del libro di cui mi possa essere accorto, al penultimo paragrafo dell'ultimo capitolo!
Scusa sono un po' confuso: [tex]p[/tex] è un primo? [tex]K[/tex] ha caratteristica [tex]p[/tex]?
Grazie, Martino! Che stupido sono stato a non specificarlo: sì ad entrambe le domande: $K$ di caratteristica $p$ con $p$ primo.
Capisco, infatti se [tex]K[/tex] è un qualunque campo di caratteristica [tex]p[/tex] non credo che si abbiano speranze che quella cosa sia vera, serve almeno che [tex]K[/tex] sia perfetto (per esempio finito).
Se [tex]K[/tex] è perfetto (cioè se ogni elemento di [tex]K[/tex] è del tipo [tex]a^p[/tex] per qualche [tex]a \in K[/tex]) allora il tutto segue dal fatto che il Frobenius (l'elevamento alla [tex]p[/tex]) è iniettivo: se [tex]\alpha^p = \beta \in K(X)[/tex] allora usando il fatto che [tex]K[/tex] è perfetto troviamo facilmente [tex]\gamma \in K(X^{p^{-1}})[/tex] con [tex]\gamma^p = \beta[/tex] e poi osserviamo che da [tex]\alpha^p = \beta = \gamma^p[/tex] segue [tex](\alpha-\gamma)^p=0[/tex] cioè [tex]\alpha=\gamma[/tex]. Analogamente per [tex]p^i[/tex].
Se [tex]K[/tex] è perfetto (cioè se ogni elemento di [tex]K[/tex] è del tipo [tex]a^p[/tex] per qualche [tex]a \in K[/tex]) allora il tutto segue dal fatto che il Frobenius (l'elevamento alla [tex]p[/tex]) è iniettivo: se [tex]\alpha^p = \beta \in K(X)[/tex] allora usando il fatto che [tex]K[/tex] è perfetto troviamo facilmente [tex]\gamma \in K(X^{p^{-1}})[/tex] con [tex]\gamma^p = \beta[/tex] e poi osserviamo che da [tex]\alpha^p = \beta = \gamma^p[/tex] segue [tex](\alpha-\gamma)^p=0[/tex] cioè [tex]\alpha=\gamma[/tex]. Analogamente per [tex]p^i[/tex].
"Martino":
Se [tex]K[/tex] è perfetto (cioè se ogni elemento di [tex]K[/tex] è del tipo [tex]a^p[/tex] per qualche [tex]a \in K[/tex])
Sì, avevo trascurato di specificare che $K$ è perfetto!$\aleph_1$ grazie!
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