\(K[X_1,...,X_n]/\mathfrak{a}\) di tipo finito
Sono di nuovo qui a rompere le scatole... Stavolta una cosa che mi sembra facile facile, e quindi è molto probabile che non abbia capito niente: per ogni ideale \(\mathfrak{a}\subset K[X_1,...,X_n]\) si ha che l'omomorfismo di anelli \(K \hookrightarrow K[X_1,...,X_n]/\mathfrak{a}\) è di tipo finito, vero?
Grazie a tutti!!!
Grazie a tutti!!!
Risposte
Ho paura che dipenda dalla definizione di omomorfismo di tipo finito.
Alcuni testi dicono che un morfismo di anelli $\phi: A \to B$ e' di tipo finito se $B$ e' un'algebra finitamente generata su $\phi(A)$ (in questo caso la tua inclusione e' di tipo finito).
Altri testi dicono che un morfismo di anelli $\phi : A \to B$ e' di tipo finito se $B$ e' un modulo finitamente generato su $\phi(A)$ (in questo caso l'inclusione non e' in generale di tipo finito).
La differenza sta nel fatto che nel primo caso puoi usare i prodotti tra gli elementi dell'insieme di generatori, nel secondo caso invece no.
Esempio facile: anello di polinomi $k[x_1 , ... , x_n]$ e' un algebra di tipo finito su $k$ ma non un modulo di tipo finito su $k$.
Alcuni testi dicono che un morfismo di anelli $\phi: A \to B$ e' di tipo finito se $B$ e' un'algebra finitamente generata su $\phi(A)$ (in questo caso la tua inclusione e' di tipo finito).
Altri testi dicono che un morfismo di anelli $\phi : A \to B$ e' di tipo finito se $B$ e' un modulo finitamente generato su $\phi(A)$ (in questo caso l'inclusione non e' in generale di tipo finito).
La differenza sta nel fatto che nel primo caso puoi usare i prodotti tra gli elementi dell'insieme di generatori, nel secondo caso invece no.
Esempio facile: anello di polinomi $k[x_1 , ... , x_n]$ e' un algebra di tipo finito su $k$ ma non un modulo di tipo finito su $k$.
Il mio testo, il Bosch, definisce un omomorfismo $\phi:A\to B$ di tipo finito con l'esistenza di \(x_1,...,x_n\in B:B=\varphi(A)[x_1,...,x_n]\), quindi direi che ci siamo.
$\aleph_1$ grazie!!!
$\aleph_1$ grazie!!!
Si...in generale, se $B$ e' un modulo/algebra di tipo finito su $A$, allora ogni quoziente di $B$ e' un modulo/algebra di tipo finito (perche' puoi usare gli stessi generatori).
In particolare, visto che l'anello dei polinomi su un campo e' un'algebra finitamente generata sul campo, qualunque suo quoziente e' un algebra finitamente generata.
Viceversa, se $B$ e' un algebra di tipo finito su un campo, e' facile mostrare che e' quoziente di un anello di polinimi sul campo (basta proiettare le indeterminate sui generatori).
Quindi in sostanza un algebra su $K$ e' di tipo finito se e solo se e' un quoziente di un anello di polinomi su $K$ con un numero finito di indeterminate.
Edit: corretti un paio di errori!
In particolare, visto che l'anello dei polinomi su un campo e' un'algebra finitamente generata sul campo, qualunque suo quoziente e' un algebra finitamente generata.
Viceversa, se $B$ e' un algebra di tipo finito su un campo, e' facile mostrare che e' quoziente di un anello di polinimi sul campo (basta proiettare le indeterminate sui generatori).
Quindi in sostanza un algebra su $K$ e' di tipo finito se e solo se e' un quoziente di un anello di polinomi su $K$ con un numero finito di indeterminate.
Edit: corretti un paio di errori!
Bello!
Grazie ancora!!!
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