\(K(\alpha_i)=K(\alpha_j)\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Se \(L/K\) è un'estensione separabile, con $L$ campo di spezzamento di un polinomio $f\in K[X]$, trovo scritto (p. 123 qui) che il polinomio minimo dell'elemento primitivo $a\in L$ tale che $L=K(a)$ (che so che esiste per il teorema appunto dell'elemento primitivo) è tale che per ciascuna radice $\alpha_i$ di $g$ risulta $L=K(\alpha_i)$.
Ora, mi è chiaro che \(K(\alpha_i)\simeq K(\alpha_j)\) per ogni $i,j$, visto che per ogni $i$ si ha \(K(\alpha_i)\simeq K[X]/(g)\), ma perché qui si scrive proprio "=" ?
Grazie di cuore a tutti!!!!

[Pappappero1]

Viene dalla formula dei gradi. L'elemento primitivo di $L$ e' $\alpha$, che e' una radice del suo polinomio minimo $f$. Consideriamo ora un'altra radice $\beta$. Questa radice e' un elemento di $L$ (perche' $f$ si spezza in $L$) e il suo polinomio minimo su $K$ e' $f$ (perche' $f$ fa zero su $\beta$ ed e' irriducibile su $K$).

Per la formula dei gradi abbiamo $[L] = [L:K[\beta]][K[\beta]:K]$. Il lato sinistro e' uguale a $\deg (f)$, perche' $L = K[\alpha]$ e $f$ e' polinomio minimo di $\alpha$. Il secondo fattore del lato destro e' anche lui uguale a $\deg (f)$, perche' $f$ e' polinomio minimo di $\beta$. Segue che $[L:K[\beta]] = 1$ e percio' $K[\beta] = L$ per ogni $\beta$ radice di $f$.

[DavideGenova1]

Bello, questo risultato! $\infty$ grazie!!!!