$k=-k\Rightarrow k=0$?
Ciao, amici, trovo un'espressione sul Sernesi, Geometria I, che credevo di aver capito e invece avevo, credo, frainteso...
Vi si dice -paragrafo 15.1- che, se una forma bilineare \(b:\mathbf{V}×\mathbf{V}\to\mathbb{K}\) è antisimmetrica, allora \(b(\mathbf{v},\mathbf{v})=-b(\mathbf{v},\mathbf{v})\) (fin qua ci sono) e \(b(\mathbf{v},\mathbf{v})=-b(\mathbf{v},\mathbf{v})=0\) e qui non mi è chiaro il perché...
Non credo che valga sempre $k=-k\Rightarrow k=0$ per $k$ elemento di qualunque campo, infatti direi che in \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) vale \(\bar{1}=-\bar{1}\ne \bar{0}\)...
Grazie di cuore a tutti!
Vi si dice -paragrafo 15.1- che, se una forma bilineare \(b:\mathbf{V}×\mathbf{V}\to\mathbb{K}\) è antisimmetrica, allora \(b(\mathbf{v},\mathbf{v})=-b(\mathbf{v},\mathbf{v})\) (fin qua ci sono) e \(b(\mathbf{v},\mathbf{v})=-b(\mathbf{v},\mathbf{v})=0\) e qui non mi è chiaro il perché...
Non credo che valga sempre $k=-k\Rightarrow k=0$ per $k$ elemento di qualunque campo, infatti direi che in \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) vale \(\bar{1}=-\bar{1}\ne \bar{0}\)...
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Forse ho trovato: mentre dal Sernesi mi sembrava che \(b(\mathbf{v},\mathbf{v})=-b(\mathbf{v},\mathbf{v})=0\) fosse una conseguenza della definizione \(b(\mathbf{v},\mathbf{w})=-b(\mathbf{w},\mathbf{v})\) di forma bilineare antisimmetrica, da questo testo mi pare di capire che \(b(\mathbf{v},\mathbf{v})=-b(\mathbf{v},\mathbf{v})=0\) sia proprio la definizione di forma bilineare antisimmetrica, valida quindi anche se la caratteristica di \(\mathbb{K}\) è 2...
Giusto?
Grazie ancora a tutti!!!
Giusto?
Grazie ancora a tutti!!!
Correggimi se sbaglio... dall'assioma FB3 sai che $b(v,0)=b(0,v)=0$ e dall'antisimmetria ricavi che $b(v,v)+b(v,v)=0$ ok? Quindi puoi sfruttare la bilinearità in questo modo
$b(v,v)=b(v+0,v+0)=b(v,v)+b(0,v)+b(v,0)+b(v,v)= b(v,v)+0+0+b(v,v)= 0$
Ovviamente tu sei capacissimo di distinguere quando uso $0$ per intendere il vettore nullo e quando lo uso per intendere lo zero del campo $K$. In sostanza secondo me la caratteristica di $K$ non c'entra un tubo. Ciao!
$b(v,v)=b(v+0,v+0)=b(v,v)+b(0,v)+b(v,0)+b(v,v)= b(v,v)+0+0+b(v,v)= 0$
Ovviamente tu sei capacissimo di distinguere quando uso $0$ per intendere il vettore nullo e quando lo uso per intendere lo zero del campo $K$. In sostanza secondo me la caratteristica di $K$ non c'entra un tubo. Ciao!
È vero, perplesso!
In ogni caso, come fattomi notare da Leonardo, il Sernesi tratta, al di fuori dell'appendice, sottocampi di $CC$ con caratteristica 0.
Grazie di cuore ancora!
In ogni caso, come fattomi notare da Leonardo, il Sernesi tratta, al di fuori dell'appendice, sottocampi di $CC$ con caratteristica 0.
Grazie di cuore ancora!
Volevo aggiungere una cosa...
Ti sembra -a te e a chiunque altro voglia intervenire- che assegnare una forma bilineare simmetrica \(b:\mathbf{V}×\mathbf{V}\to\mathbb{K}\) o la forma quadratica ad essa associata sia equivalente anche se la caratteristica di \(\mathbb{K}\) è 2?
Io ho interpretato questa affermazione -che si trova subito dopo la dimostrazione della proposizione 15.8 a p. 215: faccio riferimento a Sernesi, Geometria I, 2000 Bollati Boringhieri, che vedo che, come non pochi qua, conosci direttamente- come conseguenza del fatto che \(2b(\mathbf{v},\mathbf{w})=q(\mathbf{v}+\mathbf{w})-q(\mathbf{v})-q(\mathbf{w})\Rightarrow b(\mathbf{v},\mathbf{w})=2^{-1}(q(\mathbf{v}+\mathbf{w})-q(\mathbf{v})-q(\mathbf{w}))\), ma se 2 non fosse invertibile...
Lo stesso a p. 220: \(\mathbf{u}_1\) e \(\mathbf{u}_2\) sono ortogonali direi perché \(0=b(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2)=2b(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2)\Rightarrow b(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2)=2^{-1}·0\), ma se 2 non è invertibile...?
Grazie di cuore ancora!
Ti sembra -a te e a chiunque altro voglia intervenire- che assegnare una forma bilineare simmetrica \(b:\mathbf{V}×\mathbf{V}\to\mathbb{K}\) o la forma quadratica ad essa associata sia equivalente anche se la caratteristica di \(\mathbb{K}\) è 2?
Io ho interpretato questa affermazione -che si trova subito dopo la dimostrazione della proposizione 15.8 a p. 215: faccio riferimento a Sernesi, Geometria I, 2000 Bollati Boringhieri, che vedo che, come non pochi qua, conosci direttamente- come conseguenza del fatto che \(2b(\mathbf{v},\mathbf{w})=q(\mathbf{v}+\mathbf{w})-q(\mathbf{v})-q(\mathbf{w})\Rightarrow b(\mathbf{v},\mathbf{w})=2^{-1}(q(\mathbf{v}+\mathbf{w})-q(\mathbf{v})-q(\mathbf{w}))\), ma se 2 non fosse invertibile...
Lo stesso a p. 220: \(\mathbf{u}_1\) e \(\mathbf{u}_2\) sono ortogonali direi perché \(0=b(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2)=2b(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2)\Rightarrow b(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2)=2^{-1}·0\), ma se 2 non è invertibile...?
Grazie di cuore ancora!
Mi correggo. 
Nel mio post precedente c'è un errore grande come una casa ... Ti chiedo scusa e ti invito a vedere questo http://planetmath.org/SkewSymmetricBilinearForm.html che dovrebbe risolvere una parte dei tuoi dubbi.
A questo punto credo proprio di no, perchè non vedo come potresti ricavare $b(v,w)$ dalla forma bilineare associata, visto che la seconda proprietà della proposizione 15.8 diventerebbe $q(v+w)=q(w)+q(v)$.
Nel mio post precedente c'è un errore grande come una casa ... Ti chiedo scusa e ti invito a vedere questo http://planetmath.org/SkewSymmetricBilinearForm.html che dovrebbe risolvere una parte dei tuoi dubbi."DavideGenova":
Ti sembra -a te e a chiunque altro voglia intervenire- che assegnare una forma bilineare simmetrica b:V×V→K o la forma quadratica ad essa associata sia equivalente anche se la caratteristica di K è 2?
A questo punto credo proprio di no, perchè non vedo come potresti ricavare $b(v,w)$ dalla forma bilineare associata, visto che la seconda proprietà della proposizione 15.8 diventerebbe $q(v+w)=q(w)+q(v)$.
"perplesso":
Nel mio post precedente c'è un errore grande come una casa ...
Ehm... dove?
Se la caratteristica è 2, direi che ogni elemento del campo è inverso di se stesso, quindi avrei l'impressione che simmetria e antisimmetria delle forme bilineari coincidano... o dico stupidate?
Comunque durante la lettura del Sernesi cercherò di tenere a mente che si tratta di campi con caratteristica 0 e quelli con caratteristica 2 mi faceva notare Leonardo che sono comunque un po' particolari.
$+oo$ grazie ancora!
"perplesso":
$b(v,v)=b(v+0,v+0)=b(v,v)+b(0,v)+b(v,0)+$ b(v,v) $= b(v,v)+0+0+b(v,v)= 0$
... invece di $b(0,0)$
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"DavideGenova":
Se la caratteristica è 2, direi che ogni elemento del campo è inverso di se stesso, quindi avrei l'impressione che simmetria e antisimmetria delle forme bilineari coincidano... o dico stupidate?
Penso che hai ragione perchè se la caratteristica è 2 risulta $b(x,y)=b(y,x)=-b(y,x)$
Non ti preoccupare per la svita: non me ne sono accorto neanche dopo che l'hai detto, quindi devo trovare un muro per battere la testa di quelli cosparsi di sassolini a spigoli vivi incementati che ho sempre odiato da quando da piccolo mi capitava di grattuggiarmici contro...
$\aleph_1$ grazie!
$\aleph_1$ grazie!
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