Isomorfismo tra strutture algebriche
Ciao a tutti,
facendo esercizi preparatori ad un esame di matematica discreta mi sono scontrato con un problema la cui soluzione non mi è chiara, o per lo meno mi farebbe piacere avere dei feedback, positivi o negativi, su questo mio modo di procedere.
Dopo questa breve premessa/introduzione vi esplicito il mio problema:
Io ho un gruppo commutativo $\ (G, *)\ $ e devo verificare se isomorfo su ($ \ZZ_3 , *)\ $.
Il gruppo $\ (G, *)\ $ dove $ \ * \ $ è l'usuale prodotto tra relazioni è così formato:
$ G = { \alpha\, \alpha^2\, \alpha^3\} $ e sia $ \alpha\ =\((1,2,3),(2,3,1))\ $ , $ \alpha^2\ =\((1,2,3),(3,1,2))\ $ e $ \alpha^3\ =\((1,2,3),(1,2,3))\ $
A questo punto calcolo la "tavola di moltiplicazione" ottenendo:
Eseguendo tutte le prove del caso verifico che è un gruppo commutativo.
Adesso per verificare se è isomorfo su ($ \ZZ_3 , *)\ $, se ho capito bene dovrei crearmi la "tavola di moltiplicazione" in $ \ZZ_3\ $ e verificare che le due strutture algebriche abbiano le stesse proprietà algebriche.
Quindi:
è la tavola di moltiplicazione su $ \ZZ_3\ $.
Da cui noto che è presente l'elemento 0 che non è presente in $\ (G, *) \ $ e che la struttura algebrica ($ \ZZ_3 , *)\ $ non contiene l'elemento neutro che invece è presente in $\ (G, *) \ $.
Questo seguendo il mio ragionamento (di cui chiedo conferma) mi porta a dire che $\ (G, *) \ $ non è isomorfo su ($ \ZZ_3 , *)\ $.
Un ringraziamento a tutti quelli che hanno avuto la pazienza di leggere questo "papiro" e un ringraziamento doppio a chi "saprà indicarmi la via"
facendo esercizi preparatori ad un esame di matematica discreta mi sono scontrato con un problema la cui soluzione non mi è chiara, o per lo meno mi farebbe piacere avere dei feedback, positivi o negativi, su questo mio modo di procedere.
Dopo questa breve premessa/introduzione vi esplicito il mio problema:
Io ho un gruppo commutativo $\ (G, *)\ $ e devo verificare se isomorfo su ($ \ZZ_3 , *)\ $.
Il gruppo $\ (G, *)\ $ dove $ \ * \ $ è l'usuale prodotto tra relazioni è così formato:
$ G = { \alpha\, \alpha^2\, \alpha^3\} $ e sia $ \alpha\ =\((1,2,3),(2,3,1))\ $ , $ \alpha^2\ =\((1,2,3),(3,1,2))\ $ e $ \alpha^3\ =\((1,2,3),(1,2,3))\ $
A questo punto calcolo la "tavola di moltiplicazione" ottenendo:
Eseguendo tutte le prove del caso verifico che è un gruppo commutativo.
Adesso per verificare se è isomorfo su ($ \ZZ_3 , *)\ $, se ho capito bene dovrei crearmi la "tavola di moltiplicazione" in $ \ZZ_3\ $ e verificare che le due strutture algebriche abbiano le stesse proprietà algebriche.
Quindi:
è la tavola di moltiplicazione su $ \ZZ_3\ $.
Da cui noto che è presente l'elemento 0 che non è presente in $\ (G, *) \ $ e che la struttura algebrica ($ \ZZ_3 , *)\ $ non contiene l'elemento neutro che invece è presente in $\ (G, *) \ $.
Questo seguendo il mio ragionamento (di cui chiedo conferma) mi porta a dire che $\ (G, *) \ $ non è isomorfo su ($ \ZZ_3 , *)\ $.
Un ringraziamento a tutti quelli che hanno avuto la pazienza di leggere questo "papiro" e un ringraziamento doppio a chi "saprà indicarmi la via"
Risposte
Attenzione, $ZZ_3$ lo devi pensare come gruppo additivo ! $(ZZ_3,*)$ non è un gruppo ma un monoide.
Comunque l'abelianità la si vede notando se c'è simmetria rispetto alla diagonale principale della tavola di moltiplicazione.
Comunque l'abelianità la si vede notando se c'è simmetria rispetto alla diagonale principale della tavola di moltiplicazione.
Ti ringrazio per la risposta, ma credo di avere un po' di confusione in testa e non ho ben compreso la tua dritta.
$ (\ZZ_3, *) $ non è un gruppo in quanto ha un elemento zero e non ha elemento neutro, ma gode della proprietà commutativa in quanto la "tavola" è simmetrica rispetto alla diagonale.
Ora mi chiedo e soprattutto ti chiedo, come faccio a capire se il "mio" $ (G, *) $ è isomorfo su $ (\ZZ_3, *) $?
Stando a quanto ho capito io (e potrebbe essere totalmente errato) dovrei:
1- Creare le tavole moltiplicative delle due strutture algebriche
2- Confrontarle e verificare che le proprietà algebriche (Elemento neutro, commutatività, associatività, elemento zero ecc..) siano uguali in entrambe le tavole.
3- Nel caso in cui trovo una proprietà che non ha "immagine" nell'altra tavola allora posso dire che $ (G, *) $ non è isomorfo su $ (\ZZ_3, *) $
Questo mio modo di ragionare indica che ho capito poco o nulla oppure è corretto?
$ (\ZZ_3, *) $ non è un gruppo in quanto ha un elemento zero e non ha elemento neutro, ma gode della proprietà commutativa in quanto la "tavola" è simmetrica rispetto alla diagonale.
Ora mi chiedo e soprattutto ti chiedo, come faccio a capire se il "mio" $ (G, *) $ è isomorfo su $ (\ZZ_3, *) $?
Stando a quanto ho capito io (e potrebbe essere totalmente errato) dovrei:
1- Creare le tavole moltiplicative delle due strutture algebriche
2- Confrontarle e verificare che le proprietà algebriche (Elemento neutro, commutatività, associatività, elemento zero ecc..) siano uguali in entrambe le tavole.
3- Nel caso in cui trovo una proprietà che non ha "immagine" nell'altra tavola allora posso dire che $ (G, *) $ non è isomorfo su $ (\ZZ_3, *) $
Questo mio modo di ragionare indica che ho capito poco o nulla oppure è corretto?
$(ZZ_3,*)$ non è un gruppo! è un monoide, non puoi stabilire se esiste un isomorfismo tra le due strutture, perché sono strutture diverse.
Quello che devi fare , è confrontare $(G,*)$ con $(ZZ_3,+)$.
Scriverti le due tavole e vedere se sono "uguali". Con uguali intendo, non per gli elementi, ma strutturalmente.
Cioè ad esempio volta disegnate , prova a chiamare gli elementi di $ZZ_3$ in questo modo :
$0 = \alpha , 1=\alpha^2 , 2 = \alpha^3$ e sostituire nella tabella di $(ZZ_3,+)$.. vedrai che le due tabelle sono identiche.
Quello che devi fare , è confrontare $(G,*)$ con $(ZZ_3,+)$.
Scriverti le due tavole e vedere se sono "uguali". Con uguali intendo, non per gli elementi, ma strutturalmente.
Cioè ad esempio volta disegnate , prova a chiamare gli elementi di $ZZ_3$ in questo modo :
$0 = \alpha , 1=\alpha^2 , 2 = \alpha^3$ e sostituire nella tabella di $(ZZ_3,+)$.. vedrai che le due tabelle sono identiche.
Ti ringrazio per la spiegazione e per la pazienza
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