Isomorfismo tra InnG e G/Z(G)

[davi2892]

Salve ragazzi,volevo un aiuto in questa dimostrazione. Considero l'applicazione ϕ: $ a in G $ -------> $ bar (a) $ , dove $ bar (a) $ è l'automorfismo interno determinato da a. Questa applicazione è un omomorfismo suriettivo,quindi un epimorfismo. Adesso il mio testo dice che dal teorema di omomorfismo segue che InnG è isomorfo a kerϕ. Ma non capisco in che modo applica il teorema di omomorfismo per gruppi: lì c'è un omomorfismo iniziale f: G------>R e poi c'è una ϕ tale che ϕ composto π è proprio f,allora G/kerf è isomorfo a f(G). Adesso non capisco perchè in questa dimostrazione il testo mi mette in evidenza che ϕ è suriettiva nè capisco la conclusione "InnG è isomorfo a kerϕ"... Se qualcuno potesse illuminarmi,gliene sarei grato.

[perplesso1]

Se $ \phi $ è surriettiva significa che $ \phi (G)= $ InnG e quindi per il teorema di omomorfismo $ G/{ker \phi} \cong \phi (G)= $ InnG Secondo te chi è $ ker \phi $ ?

[davi2892]

Dovrebbe essere singleton di 1,in quanto l'unità nel gruppo InnG è 1segnato che poi è l'applicazione identica di G...Quasi sicuramente ho detto una cavolata xD...Hai ragione comunque,è InnG è isomorfo a G quozientato con il nucleo dell'applicazione.

[vict85]

\(aba^{-1} = b\) se e solo se...

Ti ricordo che l'unità di \(\mathrm{Inn} G\) è \(\mathrm{id}_G\).

[davi2892]

aba−1=b se e solo se b è centrale...ovvero se la classe di coniugio di a è singleton di b ovvero se e solo se b è coniugato soltanto di se stesso.

[perplesso1]

"davi2892":aba−1=b se e solo se b è centrale...

xD ... Si vabbè ma lascia stare $ b $ a noi interessa $ a $. Se $ a $ è centrale allora $ aba^{-1}=b $ per ogni $ b \in G$ e quindi $ \bar a = id_G $

[vict85]

Singelton, centrale... Ogni tanto ho l'impressione che alcuni professori siano più interessati a dare un nome ad ogni cosa che al significato che c'é dietro.

Dire che \(a\) e \(b\) coniugano tra di loro era tanto difficile!? Senza considerare che è falso dire che se \(aba^{-1}=b\) allora \(b\) è centrale. La conseguenza giusta è che \(ab = ba\)... Inolte come ha detto perplesso a noi interessa \(a\)...