Isomorfismo tra gruppi (prodotto semidiretto)

[luigi5458]

Ho due gruppi: $E_{n+1}$, gruppo delle matrici triangolari superiori (n+1) x (n+1) con la diagonale di tutti 1, e i coefficienti di queste matrici appartengono tutte al campo $GF(2)$, campo finito con due elementi. Poi ho $V_nE_n$ prodotto semidiretto del gruppo $E_n$, con le stesse proprietà di $E_{n+1}$, e $V_n$ spazio vettoriale di dimensione n, in cui ogni elemento del vettore appartiene al campo $GF(2)$. Devo dimostrare che sono isomorfi, ma non riesco a trovare una buona partenza...

[Pappappero1]

Intanto sarebbe comodo avere un buon modo per visualizzare quel prodotto semidiretto. Chiamo $k = GF(2)$ (e in realta' quello che diro' non dipende dal campo).

Prova a dimostrare intanto che \(V_n \rtimes E_n\) e' isomorfo al gruppo delle matrici fatte cosi (a seconda di come hai definito la moltiplicazione nel prodotto semidiretto, potrebbe non essere proprio cosi'):
\[
\left(\begin{array}{cc}
1 &\mathbf{x} \\
\mathbf{0} & A
\end{array}\right)
\]
dove $\mathbf{0}$ e' una colonna di $n$ zeri, $\mathbf{x} \in V_n = k^n$ (visto come vettore riga) e $A \in E_n$.

Ma una volta dimostrato questo, abbiamo quasi vinto...