Isomorfismo tra gruppi di Galois

[angus89]

Mi serve dimostrare questo lemma
Siano [tex]$ E $[/tex] ed [tex]$ F $[/tex] due sottocampi di [tex]$ L $[/tex]
Sia [tex]$ E $[/tex] un'estensione di Galois su [tex]E \cap F[/tex] ed [tex]F[/tex] un'estensione di Galois su [tex]E \cap F[/tex]
Allora vale il seguente risultato
[tex]$ Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \simeq Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) $[/tex]

L'idea è quella di usare la restrizione, ovvero mostrare che il seguente è un isomorfismo
[tex]$ \Phi Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \rightarrow Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) $[/tex]

Dove [tex]$ \Phi(\sigma)=\sigma|_E $[/tex]

Ovvero mandiamo un isomorfismo nella restizione al campo [tex]$ E $[/tex]

La prima cosa da fare è quella di dimostrare che
[tex]$ \sigma(E)=E $[/tex] per avere appunto una definizione sensata, e non riesco a farlo vedere.

Anche qui l'idea era di utilizzare il seguente teorema (vedi TEOREMA DI ESTENSIONE AI CAMPI DI SPEZZAMENTO )
http://www.matematicamente.it/forum/estensione-di-isomorfismi-per-sottocampi-t49195.html

sarà semplice ma non mi riesce proprio di concludere

[alvinlee881]

Un elemento [tex]\sigma[/tex] di [tex]Gal(EF/F)[/tex] è un omomorfismo da [tex]EF[/tex] in sè tale che se lo restringi a [tex]F[/tex] fa l'identità. Ora [tex]\Phi(\sigma)[/tex] ristretto a [tex]E \cap F \subset F[/tex] è l'identità, quindi dalla normalità di [tex]E/{E \cap F}[/tex] segue che [tex]\Phi (\sigma) (E)=E[/tex].