Isomorfismo tra $CC$ e un anello di matrici

[Oshawott277]

Sia:
$M={( ( a , -b ),( b , a ) )$ a coefficienti reali, invertibili $}$
mostrare che $M$ è isomorfo a $CC$

Ora, si vede facilmente che $AA A in M, A=aI+bJ$ dove $I=identità, J=( ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $
L'applicazione:
$f:M->CC$ t.c. $f(aI+bJ)=a+bi$
è un isomorfismo di anelli?

Il problema è che non c'è la matrice $O_2$ in $A$ perché non è invertibile... Se aggiungo lei potrei avere che ho un isomorfismo... però a quel punto c'è una matrice non invertibile (la matrice zero).
E' giusto?.
E in più vorrei sapere se questo isomorfismo vi suggerisce qualche altra analogia tipo quella fra il $det$ delle matrici di $M$ e il modulo del corrispondente numero complesso $z$ in $CC$
in pratica vorrei un piccolo commento, anche da un punto di vista "superiore"... se qualcuno avesse voglia lo ringrazio

[killing_buddha]

Si', quello che stai costruendo e' parte di un isomorfismo di anelli; se ti limiti alle sole matrici invertibili pero' non hai lo zero, ovviamente. La mappa che hai definito rispetta le operazioni di somma e prodotto, la norma di un numero complesso $f(M)$ corrisponde al determinante di $M$; il coniugio di $f(M)$ corrisponde alla trasposizione di $M$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

I coefficienti non vanno posti invertibili.