Isomorfismo tra campi
Dimostrare che:
$\frac {\mathbb{Z_11[X]}}{(X^2+1)} \cong \frac {\mathbb{Z_11[X]}}{(X^2+X+4)}$
Dovrei sfruttare il primo teorema di isomorfismo, ma ci sbatto la testa da un po' e non ne esco.
In pratica sto cercando di trovare un omomorfismo suriettivo da $\mathbb{Z_11[X]}$ in $\frac {\mathbb{Z_11[X]}}{(X^2+X+4)}$ che abbia nucleo $(X^2+1)$
Il mio problema è che la congruenza $X^2+1\equiv 0 \mod 11 $ non ha soluzioni.
(scambiando i ruoli di $X^2+1$ e $X^2+X+4$ i problemi sono gli stessi)
Vi ringrazio
$\frac {\mathbb{Z_11[X]}}{(X^2+1)} \cong \frac {\mathbb{Z_11[X]}}{(X^2+X+4)}$
Dovrei sfruttare il primo teorema di isomorfismo, ma ci sbatto la testa da un po' e non ne esco.
In pratica sto cercando di trovare un omomorfismo suriettivo da $\mathbb{Z_11[X]}$ in $\frac {\mathbb{Z_11[X]}}{(X^2+X+4)}$ che abbia nucleo $(X^2+1)$
Il mio problema è che la congruenza $X^2+1\equiv 0 \mod 11 $ non ha soluzioni.
(scambiando i ruoli di $X^2+1$ e $X^2+X+4$ i problemi sono gli stessi)
Vi ringrazio
Risposte
Ciao.
Ma devi proprio usare il teorema di isomorfismo? Io vedo una strada più semplice (ammesso che sia corretta
).
Un'idea: nota che entrambi i polinomi (i generatori degli ideali per cui quozienti) sono irriducibili in [tex]$\mathbb{Z}_{11}[X]$[/tex] (perchè?)
Quindi, entrambi i quozienti sono campi (perchè gli ideali sono massimali); di più, entrambi hanno una naturale struttura di spazio vettoriale su [tex]$\mathbb{Z}_{11}$[/tex]. Se dimostri che hanno la stessa dimensione sei a posto.
Prova un po' a ragionare in questa direzione e facci sapere.
Ma devi proprio usare il teorema di isomorfismo? Io vedo una strada più semplice (ammesso che sia corretta
). Un'idea: nota che entrambi i polinomi (i generatori degli ideali per cui quozienti) sono irriducibili in [tex]$\mathbb{Z}_{11}[X]$[/tex] (perchè?)
Quindi, entrambi i quozienti sono campi (perchè gli ideali sono massimali); di più, entrambi hanno una naturale struttura di spazio vettoriale su [tex]$\mathbb{Z}_{11}$[/tex]. Se dimostri che hanno la stessa dimensione sei a posto.
Prova un po' a ragionare in questa direzione e facci sapere.
Il fatto che gli ideali per cui quoziento siano massimali l'avevo osservato (anche nel titolo parlo di campi).
Si vede anche che sono entrambi campi con 121 elementi, quindi in teoria avrei già finito (campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi...), il problema è che cercavo una dimostrazione "elementare".
Seguendo quello che mi consigli te, posso dimostrare che entrambi sono spazi vettoriali 2-dimensionali su $\mathbb{Z_11}$ ($[1]$ e $[x]$ generano ogni elemento dei due anelli), però non mi è chiaro perchè in questo caso avrei concluso...
Cioè, il fatto che sono isomorfi come spazi vettoriali implica che sono isomorfi come campi?
Probabilmente le domande sono stupide, chiedo scusa... Grazie!
Si vede anche che sono entrambi campi con 121 elementi, quindi in teoria avrei già finito (campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi...), il problema è che cercavo una dimostrazione "elementare".
Seguendo quello che mi consigli te, posso dimostrare che entrambi sono spazi vettoriali 2-dimensionali su $\mathbb{Z_11}$ ($[1]$ e $[x]$ generano ogni elemento dei due anelli), però non mi è chiaro perchè in questo caso avrei concluso...
Cioè, il fatto che sono isomorfi come spazi vettoriali implica che sono isomorfi come campi?
Probabilmente le domande sono stupide, chiedo scusa... Grazie!
No, in generale se due algebre (o cmq due strutture che hanno sia la struttura di anello che di spazio vettoriale) sono isomorfe come spazi vettoriali, non è affatto vero che siano isomorfi anche come anelli (in questo caso come campi).
E' chiaro che nel caso particolare tutto è vero, nel senso che ci sono tanti risultati che implicano l'isomorfismo.
Se vuoi una strada "elementare" che usi in modo diretto il th. d'isomorfismo, la strada più diretta a me sembra quella di scrivere esplicitamente l'isomorfismo, e non dovrebbe essere difficile.
Il primo campo si può presentare come: ${a+bt | a, b\in ZZ_{11}, t^2 = -1}$, e similmente il secondo: ${a+bs | a, b\in ZZ_{11}, s^2+s = -4}$
L'elemento $t$ (ovvero una radice quadrata di -1) è scrivibile nella forma $a+bs$, nel senso che c'è un elemento $\gamma in {ZZ_{11}[x]}/{(x^2+x+4)}$ che è radice di $-1$. Se fai un po' di conti questo elemento lo trovi, e il morfismo che cerchi tu si ottiene mandando $x$ in $\gamma$.
Ti torna?
E' chiaro che nel caso particolare tutto è vero, nel senso che ci sono tanti risultati che implicano l'isomorfismo.
Se vuoi una strada "elementare" che usi in modo diretto il th. d'isomorfismo, la strada più diretta a me sembra quella di scrivere esplicitamente l'isomorfismo, e non dovrebbe essere difficile.
Il primo campo si può presentare come: ${a+bt | a, b\in ZZ_{11}, t^2 = -1}$, e similmente il secondo: ${a+bs | a, b\in ZZ_{11}, s^2+s = -4}$
L'elemento $t$ (ovvero una radice quadrata di -1) è scrivibile nella forma $a+bs$, nel senso che c'è un elemento $\gamma in {ZZ_{11}[x]}/{(x^2+x+4)}$ che è radice di $-1$. Se fai un po' di conti questo elemento lo trovi, e il morfismo che cerchi tu si ottiene mandando $x$ in $\gamma$.
Ti torna?
si si, perfetto! dopo circa 3 pagine di conti ho concluso!
L'isomorfismo esplicito è quello che manda $x$ in $5-x$... Brutto però!!
Grazie a tutti!
L'isomorfismo esplicito è quello che manda $x$ in $5-x$... Brutto però!!
Grazie a tutti!
non so se serve, ma si può dimostrare che un omomorfismo di campi o è zero o è iniettivo.
quindi in realtà non serve usare il teo di omom e dimostrare che il ker è zero, basta far vedere che l'omomorfismo che si definisce è un omomorfismo e non manda tutto in 0, il che è piuttosto semplice.
Poi si può dim che campi di quel genere hanno $p^n$ elementi, e quindi vale forzatamente la suriettività.
per trovare l'omomorfismo puoi scrivere com'è fatto il generico elemento di quei campi
Siano
$f(x)=x^2+1$
$g(x)=x^2+x+4$
sia $h(x) in (Z11)/((f))$
per il teo. di divisione
$h=fq+r$ con $r=0$ oppure $degr<2$ ovvero $r=rx+r'$
dunque
$h(x)+I=f(x)q(x)+rx+r'+I$ dove $I=(f(x))$
ora, $ fq in I$
perciò
$h(x)+I=r(x+I)+r'+I
sia $x+I=t$
Il generico elemento del campo eè
$h(x)=rt+r'$
fai lo stesso con l'altro campo e fai l'omomorfismo più ovvio che ci sia...
s
non so se il ragionamento è corretto comunque vedo che hai già risolto i tuoi dubbi.. ciao ciao!
quindi in realtà non serve usare il teo di omom e dimostrare che il ker è zero, basta far vedere che l'omomorfismo che si definisce è un omomorfismo e non manda tutto in 0, il che è piuttosto semplice.
Poi si può dim che campi di quel genere hanno $p^n$ elementi, e quindi vale forzatamente la suriettività.
per trovare l'omomorfismo puoi scrivere com'è fatto il generico elemento di quei campi
Siano
$f(x)=x^2+1$
$g(x)=x^2+x+4$
sia $h(x) in (Z11)/((f))$
per il teo. di divisione
$h=fq+r$ con $r=0$ oppure $degr<2$ ovvero $r=rx+r'$
dunque
$h(x)+I=f(x)q(x)+rx+r'+I$ dove $I=(f(x))$
ora, $ fq in I$
perciò
$h(x)+I=r(x+I)+r'+I
sia $x+I=t$
Il generico elemento del campo eè
$h(x)=rt+r'$
fai lo stesso con l'altro campo e fai l'omomorfismo più ovvio che ci sia...
s
non so se il ragionamento è corretto comunque vedo che hai già risolto i tuoi dubbi.. ciao ciao!
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