Isomorfismo tra campi

[Hop Frog1]

Sia [tex]f[/tex] un morfismo di anelli da [tex]R[/tex] a [tex]R'[/tex].
1) Se [tex]R[/tex] è un campo anche [tex]f(R)[/tex] è un campo. [fatto]
2) In tal caso [tex]R[/tex] è isomorfo a [tex]f(R)[/tex].

Bene.
Per quanto riguarda il secondo punto io ho supposto che tra [tex]R[/tex] e [tex]f(R)[/tex] il morfismo era certamente suriettivo, mi mancava quindi da dimostrare l iniettività.
Siano quindi [tex]a,b[/tex] elementi di [tex]R[/tex].

[tex]f(a)=f(b)[/tex]
[tex]f(a)*f(b)^{-1}=1'[/tex]
[tex]f(a)*f(b^{-1})=1'[/tex]
[tex]f(a*b^{-1})=1'[/tex]

e a questo punto non so più andare avanti..

[mod="WiZaRd"]
Aggiunti i tag TeX.
[/mod]

[Paolo902]

Forse quello che ti serve per chiudere è questo fatto: ogni morfismo di campi è iniettivo.

Lo si dimostra subito con qualche considerazione sugli "ideali" (ricorda che l'inettività di un morfismo è equivalente a una condizione sul nucleo che, guarda caso è proprio un ideale... Occhio però: in un campo non ci sono... ).

[Gaal Dornick]

OT:

"i ragazzi di oggi sono come i campi: sono privi di ideali propri!"

Da un mio collega..