Isomorfismo tra anelli
Ciao a tutti 
Come da titolo ho un problema nel determinare esplicitamente gli isomorfismi... cioè ogni volta che ho un esercizio in cui devo determinare un isomorfismo non so proprio dove mettere mano...
ad esempio:
1)I gruppi degli invertibili di $ZZ_5$ e $ZZ_(10)$: $U(Z_5)$ e $U(Z_(10))$ sono entrambi gruppi (moltiplicativi) ciclici di ordine 4 (quindi sono isomorfi)
Praticamente non riesco a determinarne un isomorfismo esplicito, ad esempio il seguente potrebbe andar bene (??):
$(z mod 5) --> (z mod 10)$
2)come faccio a dimostrare che $ZZ_4$ è isomorfo a $(ZZ_4[x])/(x^2+1)$ ? cioè come costruisco l'isomorfismo?
Inoltre come faccio a dire che $(ZZ_4[x])/(x^2+1)$ ha 16 elementi?
Grazie mille per le eventuali risposte
Come da titolo ho un problema nel determinare esplicitamente gli isomorfismi... cioè ogni volta che ho un esercizio in cui devo determinare un isomorfismo non so proprio dove mettere mano...
ad esempio:
1)I gruppi degli invertibili di $ZZ_5$ e $ZZ_(10)$: $U(Z_5)$ e $U(Z_(10))$ sono entrambi gruppi (moltiplicativi) ciclici di ordine 4 (quindi sono isomorfi)
Praticamente non riesco a determinarne un isomorfismo esplicito, ad esempio il seguente potrebbe andar bene (??):
$(z mod 5) --> (z mod 10)$
2)come faccio a dimostrare che $ZZ_4$ è isomorfo a $(ZZ_4[x])/(x^2+1)$ ? cioè come costruisco l'isomorfismo?
Inoltre come faccio a dire che $(ZZ_4[x])/(x^2+1)$ ha 16 elementi?
Grazie mille per le eventuali risposte
Risposte
Isomorfismi di anelli unitari? Insomma l'immagine di 1 deve essere 1?
Nel secondo l'isomorfismo è \(i\mapsto x\). Ma ti conviene partire da \(\mathbb{Z}_4[x]\) e la mappa \(x\mapsto i\) e dimostrare che il kernel è \(x^2+1\). Il resto è teorema isomorfismi.
Nel secondo l'isomorfismo è \(i\mapsto x\). Ma ti conviene partire da \(\mathbb{Z}_4[x]\) e la mappa \(x\mapsto i\) e dimostrare che il kernel è \(x^2+1\). Il resto è teorema isomorfismi.
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