Isomorfismo su tensori semplici è isomorfismo su \( M \otimes_R N \) ?

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Se ho dimostrato che per i tensori semplici ho che un omomorfismo \( \tilde{f} \) è l'inversa del omomofismo \( \tilde{g} \) è necessariamente vero che \( \tilde{f} \) è l'inversa di \( \tilde{g} \) ?
\(M,N \) sono \(R\)-moduli.

Io ho che \( f(m,n) = n \otimes m \) e \( g(n,m) = m \otimes n \), sono due mappe bilineari e \( \tilde{f} \) e \( \tilde{g} \) sono tali che
\[ \tilde{f} \circ \iota_1 = f \]
e rispettivamente
\[ \tilde{g} \circ \iota_2 = g \]
dove
\( \iota_1 (m,n) = m \otimes n \) e \( \iota_2(n,m) = n \otimes m \).
Ho dimostrato che per i tensori semplici \( \tilde{f} \circ \tilde{g} (n \otimes m ) = \tilde{f} (m \otimes n) = n \otimes m \) e analogamente per \( \tilde{g} \circ \tilde{f} \). Mi chiedevo se questo dimostrasse che
\[ \tilde{f} \circ \tilde{g} = \operatorname{id}_{ N \otimes_R M} \]
per ogni elemento \( a \in N \otimes_R M \) oppure non è immediato.
Cioè io direi che \(\tilde{f} \) e \( \tilde{g} \) sono lineari quindi è vero. Ma non sono sicuro.

[solaàl]

\(M\otimes N\) è generato dai tensori semplici, quindi sì.

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Okay grazie! Quindi siccome è generato dai tensori semplici e siccome sono homomorphismi allora per linearità posso concludere che è l'identità su tutto lo spazio.