Isomorfismo reticoli
Salve oggi la prof ha spiegato l'isomorfismo tra reticoli ossia:
dati due reticoli A1 e A2 abbiamo che A1 è isomorfo ad A2
se esiste un applicazione biettiva tra A1 ad A2 ed inoltre se a<=b appartenente ad A1 allora f(a)<=f(b) appartenente ad A2
il concetto l ho capito..
è solo che vorrei capire praticamente cosa vuol dire questo??
vuol dire forse semplicemente che i due reticoli sono uguali??
grazie
dati due reticoli A1 e A2 abbiamo che A1 è isomorfo ad A2
se esiste un applicazione biettiva tra A1 ad A2 ed inoltre se a<=b appartenente ad A1 allora f(a)<=f(b) appartenente ad A2
il concetto l ho capito..
è solo che vorrei capire praticamente cosa vuol dire questo??
vuol dire forse semplicemente che i due reticoli sono uguali??
grazie
Risposte
Allora... sono argomenti "delicati". La prima volta che lo ho sentito, ci ho messo del bello a capire quello che sto per dirti. Non è niente di difficile, ma all'inizio spesso non si ha abbastanza esperienza per afferrare la sottile differenza tra "uguaglianza" e "isomorfismo".
Quando si parla di strutture algebriche in generale si ha sempre la nozione di isomorfismo, che è diversa dall'uguaglianza. La differenza sta nel fatto che oggetti isomorfi possono avere nomi diversi. Da un punto di vista algebrico non cambia assolutamente nulla e le due strutture sono indistinguibili; tuttavia, a volte, in discorsi più avanzati, tenere conto della sola struttura algebrica non basta e bisogna ricordarsi degli insiemi su cui si sta lavorando. Pertanto un matematico non direbbe mai che due oggetti isomorfi sono uguali (io percepisco proprio un disagio fisico a pensare una cosa simile!).
Non so che cosa tu stia studiando, ma ho l'impressione che non sia matematica pura (perché non ho ancora incontrato un corso di laurea in matematica pura che tratti questi argomenti in un esame). Se però mi sbagliassi, prova a seguire il prossimo esempio.
Consideriamo il gruppo ciclico di ordine 2. Da un lato possiamo pensare a questo gruppo come a [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex]; d'altra parte è anche vero che è [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex], oppure [tex]\text{Aut}(\mathbb Z / 4 \mathbb Z)[/tex], oppure [tex](\mathbb Z / 4 \mathbb Z)^\times[/tex]. Ora, sarebbe un po' dannoso identificare tout-court [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex] con [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex]; se facessimo così ci staremmo dimenticando che gli elementi di [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex] sono in realtà funzioni definite su [tex]\mathbb Z[/tex] a valori in [tex]\mathbb Z[/tex], non semplicemente classi di resto (anche se dal punto di vista algebrico le strutture coincidono, concorderai che sono concetti abbastanza diversi!). Invece non c'è pericolo di sorta ad identificare [tex](\mathbb Z/ 4 \mathbb Z)^\times[/tex] con [tex]\text{Aut}(\mathbb Z / 4 \mathbb Z)[/tex], perché in questo caso c'è proprio un'identificazione canonica tra gli elementi dei due insiemi (ed in più le strutture algebriche considerate coincidono).
Bada bene: nel precedente esempio sono partito da un oggetto assai comune, il gruppo ciclico di ordine 2. Dipende tutto da che cosa stai facendo; se ti stai occupando della classificazione dei gruppi abeliani finiti, allora non te ne può fregare di meno di quale degli ottocento gruppi ciclici di ordine 2 stai considerando, perché sei interessato esclusivamente alla sua struttura ed alle sue proprietà. Ma se stai studiando [tex]\mathbb Z[/tex], allora sei proprio interessato a ricordare che gli elementi di [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex] sono funzioni; dimenticare questo creerebbe una confusione inimmaginabile. Quindi c'è un isomorfismo, ma gli oggetti sono sostanzialmente diversi!
Quando si parla di strutture algebriche in generale si ha sempre la nozione di isomorfismo, che è diversa dall'uguaglianza. La differenza sta nel fatto che oggetti isomorfi possono avere nomi diversi. Da un punto di vista algebrico non cambia assolutamente nulla e le due strutture sono indistinguibili; tuttavia, a volte, in discorsi più avanzati, tenere conto della sola struttura algebrica non basta e bisogna ricordarsi degli insiemi su cui si sta lavorando. Pertanto un matematico non direbbe mai che due oggetti isomorfi sono uguali (io percepisco proprio un disagio fisico a pensare una cosa simile!).
Non so che cosa tu stia studiando, ma ho l'impressione che non sia matematica pura (perché non ho ancora incontrato un corso di laurea in matematica pura che tratti questi argomenti in un esame). Se però mi sbagliassi, prova a seguire il prossimo esempio.
Consideriamo il gruppo ciclico di ordine 2. Da un lato possiamo pensare a questo gruppo come a [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex]; d'altra parte è anche vero che è [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex], oppure [tex]\text{Aut}(\mathbb Z / 4 \mathbb Z)[/tex], oppure [tex](\mathbb Z / 4 \mathbb Z)^\times[/tex]. Ora, sarebbe un po' dannoso identificare tout-court [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex] con [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex]; se facessimo così ci staremmo dimenticando che gli elementi di [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex] sono in realtà funzioni definite su [tex]\mathbb Z[/tex] a valori in [tex]\mathbb Z[/tex], non semplicemente classi di resto (anche se dal punto di vista algebrico le strutture coincidono, concorderai che sono concetti abbastanza diversi!). Invece non c'è pericolo di sorta ad identificare [tex](\mathbb Z/ 4 \mathbb Z)^\times[/tex] con [tex]\text{Aut}(\mathbb Z / 4 \mathbb Z)[/tex], perché in questo caso c'è proprio un'identificazione canonica tra gli elementi dei due insiemi (ed in più le strutture algebriche considerate coincidono).
Bada bene: nel precedente esempio sono partito da un oggetto assai comune, il gruppo ciclico di ordine 2. Dipende tutto da che cosa stai facendo; se ti stai occupando della classificazione dei gruppi abeliani finiti, allora non te ne può fregare di meno di quale degli ottocento gruppi ciclici di ordine 2 stai considerando, perché sei interessato esclusivamente alla sua struttura ed alle sue proprietà. Ma se stai studiando [tex]\mathbb Z[/tex], allora sei proprio interessato a ricordare che gli elementi di [tex]\text{Aut}(\mathbb Z)[/tex] sono funzioni; dimenticare questo creerebbe una confusione inimmaginabile. Quindi c'è un isomorfismo, ma gli oggetti sono sostanzialmente diversi!
quindi in pratica è meglio dire che due reticoli sono isomorfi se sono simili giusto?
parlo anche dal punto di vista dei loro diagrammi di hasse..
i due diagrammi di hasse di due reticoli isomorfi sono simili?? o sono uguali invece??
parlo anche dal punto di vista dei loro diagrammi di hasse..
i due diagrammi di hasse di due reticoli isomorfi sono simili?? o sono uguali invece??
I diagrammi di Hasse catturano l'essenza del reticolo; in un certo senso sono il reticolo. Quindi non puoi dire che i due diagrammi di Hasse sono uguali, ma solo che sono isomorfi (pensa a due diagrammi con nomi diversi per i nodi, ad esempio). La parola "somiglianza" rende abbastanza da vicino quello che si intende intuitivamente con la nozione di isomorfismo...
ok quindi due reticoli sono isomorfi quando sono simili confermi??
ovvero ad esempio il triangolo è simile ad un altra figura avente un altro nome ma avente sempre tre lati giusto??
e quindi il triangolo è isomorfo a quest altra figura
confermi??
grazie
ovvero ad esempio il triangolo è simile ad un altra figura avente un altro nome ma avente sempre tre lati giusto??
e quindi il triangolo è isomorfo a quest altra figura
confermi??
grazie
Sì, due reticoli sono isomorfi se sono "simili". Però, guarda, "simili" non è matematicamente corretto, quindi sarebbe cento volte meglio se non utilizzassi mai questo termine in un discorso formale.
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