Isomorfismo prodotto tensoriale
Sia R un anello e sia $M_R$ un R-modulo destro. Considero il prodotto tensoriale $M\otimes_R R$.
Si riesce a costruire un isomorfismo di gruppi $phi:M\otimes_R R->M$?
Avrei bisogno di questo isomorfismo per costruire una trasformazione naturale tra due funtori ma non riesco a immaginare come possa essere fatto.
Si riesce a costruire un isomorfismo di gruppi $phi:M\otimes_R R->M$?
Avrei bisogno di questo isomorfismo per costruire una trasformazione naturale tra due funtori ma non riesco a immaginare come possa essere fatto.
Risposte
Prova a considerare $M \to M \otimes_R R$ che manda $m$ in $m \otimes 1$ e usa la proprietà universale di $\otimes$.
Quella che indico come proprietà universale di $\otimes$ mi assicura che se $(T,tau)$ è il prodotto tensoriale tra $M$ e $R$ con $T$ gruppo abeliano e $tau:M\timesR->T$ mappa bilanciata, allora per ogni gruppo abeliano $G$ e per ogni mappa bilanciata $beta:M\timesR->G$ esiste un unico omomorfismo di gruppi $\barbeta:T->G$ tale che $beta=\barbeta*tau$.
Ti riferisci a questo fatto o al fatto che il prodotto tensoriale di due moduli è unico a meno di isomorfismo?
La mappa che hai suggerito dovrebbe essere un isomorfismo ma qual'è il suo ruolo nella proprietà universale?
Ti riferisci a questo fatto o al fatto che il prodotto tensoriale di due moduli è unico a meno di isomorfismo?
La mappa che hai suggerito dovrebbe essere un isomorfismo ma qual'è il suo ruolo nella proprietà universale?
La mappa che ho suggerito è il candidato isomorfismo, per mostrare questo quello che farei è costruire l'inversa. Per costruire l'inversa ti serve la proprietà universale.
Beh per calcolare l'inversa io pensavo semplicemente di osservare che tale inversa manda $m\otimes_R1$ in $m$ e di conseguenza deve mandare $m\otimes_Rr=m\otimes_R(r*1)=(m*r)\otimes_R1$ in $m*r$.
Avendo definito l'inversa sui generatori di $M\otimes_R R$ essa risulta definita su tutto $M\otimes_R R$.
Chiaramente questa inversa è suriettiva, ma non so se è iniettiva.
In che modo mi può tornare utile la proprietà universale?
Avendo definito l'inversa sui generatori di $M\otimes_R R$ essa risulta definita su tutto $M\otimes_R R$.
Chiaramente questa inversa è suriettiva, ma non so se è iniettiva.
In che modo mi può tornare utile la proprietà universale?
Se quella è l'inversa è ovvio che è iniettiva (una inversa deve essere biiettiva). Cioè se mostri che è l'inversa hai finito. Quanto alla proprietà universale, non è detto che decidere l'immagine di alcuni generatori sia coerente e autoconsistente (come lo è per esempio nel caso di una base per uno spazio vettoriale), per fare un esempio stupido se hai tre generatori della forma a, b, a+b è chiaro che l'immagine di a+b è determinata dall'immagine di a e di b, quindi non puoi sceglierla tu liberamente. Il prodotto tensoriale è una cosa un po' più delicata di uno spazio vettoriale, quindi per sapere che l'assegnazione di cui parli ti dà un morfismo ti serve la proprietà universale (la parte dell'esistenza, non dell'unicità).
Riguardo il fatto di fissare l'immagine dei generatori della forma $m\otimes1$ Mi hai convinto che non sarei garantito sul fatto di avere un morfismo.
Continuo però a non capire in che modo la proprietà universale gioca un ruolo nella costruzione dell'inversa.
Continuo però a non capire in che modo la proprietà universale gioca un ruolo nella costruzione dell'inversa.
La proprietà universale è praticamente la definizione stessa di prodotto tensoriale. Quindi gioca un ruolo in tutto quello che fai col prodotto tensoriale 
Tu vuoi costruire un morfismo che manda $m \otimes r$ in $mr$? E come fai a fare questo? Consideri
$\tau: M \times R \to T = M \otimes_R R$ data da $(m,r) \mapsto m \otimes r$, mappa bilanciata,
$beta: M \times R \to M$ data da $(m,r) \mapsto mr$ mappa bilanciata,
e deduci che esiste il tuo $\bar{\beta}: T \to M$ tale che $\beta = \bar{\beta} \tau$, cioè $mr = \bar{\beta}(m \otimes r)$.
Questa $\bar{\beta}$ sarà esattamente l'inversa che cerchi.
Senza la proprietà universale come faresti a costruire l'inversa? Non capisco proprio.
Tu vuoi costruire un morfismo che manda $m \otimes r$ in $mr$? E come fai a fare questo? Consideri
$\tau: M \times R \to T = M \otimes_R R$ data da $(m,r) \mapsto m \otimes r$, mappa bilanciata,
$beta: M \times R \to M$ data da $(m,r) \mapsto mr$ mappa bilanciata,
e deduci che esiste il tuo $\bar{\beta}: T \to M$ tale che $\beta = \bar{\beta} \tau$, cioè $mr = \bar{\beta}(m \otimes r)$.
Questa $\bar{\beta}$ sarà esattamente l'inversa che cerchi.
Senza la proprietà universale come faresti a costruire l'inversa? Non capisco proprio.
Riepilogando:
Definisco $alpha:M->M\otimesR$, $alpha(m)=m\otimes1$ e verifico che si tratta di un omomorfismo di gruppi.
Definisco $tau:M\timesR->M\otimesR$, $tau(m,r)=m\otimesr$ e $beta:M\timesR->M$, $beta(m,r)=mr$ e verifico che si tratta di mappe bilanciate.
Per la proprietà universale deduco che deve esistere unico l'omomorfismo $\barbeta:M\otimesR->M$ tale che $beta=\barbeta*tau$, da cui $\barbeta(m\otimesr)=mr$.
Verifico che $alpha*\barbeta="id"_(M\otimesR)$ e che $\barbeta*alpha="id"_M$, ovvero che $alpha$ e $\barbeta$ sono una l'inversa dell'altra, quindi sono isomorfismi.
Ora dovrebbe essermi chiaro!
Grazie mille Martino!
Definisco $alpha:M->M\otimesR$, $alpha(m)=m\otimes1$ e verifico che si tratta di un omomorfismo di gruppi.
Definisco $tau:M\timesR->M\otimesR$, $tau(m,r)=m\otimesr$ e $beta:M\timesR->M$, $beta(m,r)=mr$ e verifico che si tratta di mappe bilanciate.
Per la proprietà universale deduco che deve esistere unico l'omomorfismo $\barbeta:M\otimesR->M$ tale che $beta=\barbeta*tau$, da cui $\barbeta(m\otimesr)=mr$.
Verifico che $alpha*\barbeta="id"_(M\otimesR)$ e che $\barbeta*alpha="id"_M$, ovvero che $alpha$ e $\barbeta$ sono una l'inversa dell'altra, quindi sono isomorfismi.
Ora dovrebbe essermi chiaro!
Grazie mille Martino!
Prego
Approfitto per considerare una variante di quanto proposto sopra.
Se volessi costruire un isomorfismo tra $M\otimes_R R/I$ e $M/(MI)$, dove $I$ e' un ideale sinistro di $R$ penso che potrei procedere in maniera analoga.
Definisco $alpha:M/(MI)->M\otimes_R R/I$, $alpha(m+MI)=m\otimes(1+I)$.
Definisco $tau:M\timesR/I->M\otimes_R R/I$, $tau(m,r+I)=m\otimes(r+I)$ mappa bilanciata.
Definisco $beta:M\timesR/I->M/(MI)$, $beta(m,r+I)=mr+MI$ mappa bilanciata.
Per la proprieta' universale esiste unico l'omomorfismo $\barbeta:M\otimes_R R/I->M/(MI)$ tale che $beta=\barbeta*tau$, da cui $mr+MI=beta(m,r+I)=\barbeta(tau(m,r+I))=\barbeta(m\otimes(r+I))$.
Tutti i morfismi che ho definito fino ad ora sono ben definiti?
Ho che $alpha(\barbeta(m\otimes(r+I)))=alpha(mr+MI)=mr\otimes(1+I)=m\otimes(r+I)$ e che $\barbeta(alpha(m+MI))=\barbeta(m\otimes(1+I))=m*1+MI=m+MI$, dunque sono una l'inversa dell'altra e quindi $\barbeta$ e' isomorfismo.
Mi daresti una conferma?
Se volessi costruire un isomorfismo tra $M\otimes_R R/I$ e $M/(MI)$, dove $I$ e' un ideale sinistro di $R$ penso che potrei procedere in maniera analoga.
Definisco $alpha:M/(MI)->M\otimes_R R/I$, $alpha(m+MI)=m\otimes(1+I)$.
Definisco $tau:M\timesR/I->M\otimes_R R/I$, $tau(m,r+I)=m\otimes(r+I)$ mappa bilanciata.
Definisco $beta:M\timesR/I->M/(MI)$, $beta(m,r+I)=mr+MI$ mappa bilanciata.
Per la proprieta' universale esiste unico l'omomorfismo $\barbeta:M\otimes_R R/I->M/(MI)$ tale che $beta=\barbeta*tau$, da cui $mr+MI=beta(m,r+I)=\barbeta(tau(m,r+I))=\barbeta(m\otimes(r+I))$.
Tutti i morfismi che ho definito fino ad ora sono ben definiti?
Ho che $alpha(\barbeta(m\otimes(r+I)))=alpha(mr+MI)=mr\otimes(1+I)=m\otimes(r+I)$ e che $\barbeta(alpha(m+MI))=\barbeta(m\otimes(1+I))=m*1+MI=m+MI$, dunque sono una l'inversa dell'altra e quindi $\barbeta$ e' isomorfismo.
Mi daresti una conferma?
Mi sembra corretto.
In teoria le mappe $alpha$, $tau$ e $beta$ dovrebbero essere ben definite, ma non saprei come provarlo...
La buona definizione di $\tau$ e $\beta$ è praticamente ovvia, per $\alpha$ quasi, devi solo usare il fatto che $\otimes$ è bilineare.
Vero, per la buona definizione di $alpha$ posso osservare che se $m_1+MI=m_2+MI$ allora $m_1-m_2\inMI$, allora $m_1-m_2=mi$ con $m\inM$ e $i\inI$, allora $(m_1\otimes(1+I))-(m_2\otimes(1+I))=(m_1-m_2)\otimes(1+I)=(mi)\otimes(1+I)=m\otimes(i1+I)=m\otimes(i+I)=m\otimes(0+I)=0_(M\otimes_R R/I)$.
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