Isomorfismo e localizzazione
Salve ho un poblema con un esercizio che mi chiede di determinare se due anelli A e B sono isomorfi.
[tex]A=(\frac{k[x,y]}{(x^2y,xy^2)})_{(x)}[/tex] dove il pedice intende la localizzazione
B=k[y]. B è un dominio, ma mi è sorto un dubbio su A. Infatti considerando gli elementi
[tex]x^2[/tex] e [tex]y[/tex] il loro prodotto è zero in [tex]\frac{k[x,y]}{(x^2y,xy^2)}[/tex] quindi dovrebbe esserlo anche nella localizzazione.
Però [tex]y[/tex] non appartiene a
[tex](x)[/tex] e quindi non dovrebbe essere invertibile nella localizzazione?Grazie a chiunque risponda
[tex]A=(\frac{k[x,y]}{(x^2y,xy^2)})_{(x)}[/tex] dove il pedice intende la localizzazione
B=k[y]. B è un dominio, ma mi è sorto un dubbio su A. Infatti considerando gli elementi
[tex]x^2[/tex] e [tex]y[/tex] il loro prodotto è zero in [tex]\frac{k[x,y]}{(x^2y,xy^2)}[/tex] quindi dovrebbe esserlo anche nella localizzazione.
Però [tex]y[/tex] non appartiene a
[tex](x)[/tex] e quindi non dovrebbe essere invertibile nella localizzazione?Grazie a chiunque risponda
Risposte
Il funtore [tex]S^{-1} -[/tex] è un funtore esatto, pertanto, da [tex]0 \to I \to A \to A / I \to 0[/tex] segue [tex]S^{-1} A / S^{-1} I \cong S^{-1} ( A / I)[/tex]. Nel tuo caso: [tex]S = k[x,y] \setminus (x)[/tex], quindi
[tex]S^{-1}(k[x,y]/(x^2y,xy^2)) = S^{-1}k[x,y] / (x^2y,xy^2)S^{-1}k[x,y][/tex]. Tuttavia, in [tex]S^{-1} k[x,y][/tex], si ha [tex](x^2y,xy^2) = (x)[/tex] perché [tex]y[/tex] è invertibile e pertanto [tex]S^{-1} (k[x,y] / (x^2y,xy^2)) \cong k[y][/tex] (quest'ultimo passaggio è un facile esercizio!).
Ora, per rispondere alla tua domanda vera e propria, il punto è che in generale, passando alla localizzazione, non è detto che gli zero-divisori rimangano tali. Ad esempio, localizza [tex]\mathbb Z / 6 \mathbb Z = \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 3 \mathbb Z[/tex] all'ideale primo [tex]0 \times \mathbb Z / 3 \mathbb Z[/tex]: [tex](1,0)[/tex] è uno zero-divisore, ma localizzando si ottiene un campo, [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex] e quell'elemento non va a zero, quindi è invertibile.
[tex]S^{-1}(k[x,y]/(x^2y,xy^2)) = S^{-1}k[x,y] / (x^2y,xy^2)S^{-1}k[x,y][/tex]. Tuttavia, in [tex]S^{-1} k[x,y][/tex], si ha [tex](x^2y,xy^2) = (x)[/tex] perché [tex]y[/tex] è invertibile e pertanto [tex]S^{-1} (k[x,y] / (x^2y,xy^2)) \cong k[y][/tex] (quest'ultimo passaggio è un facile esercizio!).
Ora, per rispondere alla tua domanda vera e propria, il punto è che in generale, passando alla localizzazione, non è detto che gli zero-divisori rimangano tali. Ad esempio, localizza [tex]\mathbb Z / 6 \mathbb Z = \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 3 \mathbb Z[/tex] all'ideale primo [tex]0 \times \mathbb Z / 3 \mathbb Z[/tex]: [tex](1,0)[/tex] è uno zero-divisore, ma localizzando si ottiene un campo, [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex] e quell'elemento non va a zero, quindi è invertibile.
Non so cos'è un funtore, comunque ho capito il succo, ma ho dei dubbi. Cioè S non cambia di volta in volta?
nel senso che in [tex]S^{-1}K[x,y][/tex] è [tex]K[x,y]-(x)[/tex] ma in [tex]S^{-1} (K[x,y]/(x^2y,xy^2))[/tex] è [tex]K[x,y]/(x^2y,xy^2) - (X)[/tex] dove X è la classe di x. Quindi
[tex]S^{-1}K[x,y] / (x)S^{-1}K[x,y][/tex] dovrebbe essere isomorfo a [tex]S^{-1}( K[x,y]/(x) )[/tex] e in quest'ultimo caso la S è tutto il quoziente meno l'ideale generato dalla classe di x ,che è lo zero di quel dominio, e quindi non dovrebbe essere tutto isomorfo a K(y), cioè il campo dei quozienti?
nel senso che in [tex]S^{-1}K[x,y][/tex] è [tex]K[x,y]-(x)[/tex] ma in [tex]S^{-1} (K[x,y]/(x^2y,xy^2))[/tex] è [tex]K[x,y]/(x^2y,xy^2) - (X)[/tex] dove X è la classe di x. Quindi
[tex]S^{-1}K[x,y] / (x)S^{-1}K[x,y][/tex] dovrebbe essere isomorfo a [tex]S^{-1}( K[x,y]/(x) )[/tex] e in quest'ultimo caso la S è tutto il quoziente meno l'ideale generato dalla classe di x ,che è lo zero di quel dominio, e quindi non dovrebbe essere tutto isomorfo a K(y), cioè il campo dei quozienti?
Sì, hai ragione tu. Ricorrere ai funtori è il modo più spontaneo ed elegante per negare (a ragione!!) il fatto che S cambia tutte le volte. Di fatto, localizzi come modulo e poi aggiungi la struttura di anello. Che poi sia equivalente a localizzare rispetto ad un sistema moltiplicativo diverso, è un caso: vale per i quozienti, ma non credo si possa estendere molto più in generale.
In ogni caso, molto più in generale, sia A un anello commutativo unitario e non nullo, sia [tex]\mathfrak p[/tex] un ideale primo, sia [tex]S_\mathfrak{p} = A \setminus \mathfrak p[/tex]. Allora [tex]S_\mathfrak{p}^{-1}(A / \mathfrak p) \cong A_\mathfrak{p} / \mathfrak p A_\mathfrak{p} \cong \kappa(\mathfrak p)[/tex], il campo residuo di [tex]\mathfrak p[/tex]. Nel tuo caso, dopo le dovute semplificazioni, salta fuori che A è il campo residuo dell'ideale primo [tex](x)[/tex], ossia il campo delle frazioni di [tex]k[y][/tex], i.e. [tex]k(y)[/tex].
In ogni caso, molto più in generale, sia A un anello commutativo unitario e non nullo, sia [tex]\mathfrak p[/tex] un ideale primo, sia [tex]S_\mathfrak{p} = A \setminus \mathfrak p[/tex]. Allora [tex]S_\mathfrak{p}^{-1}(A / \mathfrak p) \cong A_\mathfrak{p} / \mathfrak p A_\mathfrak{p} \cong \kappa(\mathfrak p)[/tex], il campo residuo di [tex]\mathfrak p[/tex]. Nel tuo caso, dopo le dovute semplificazioni, salta fuori che A è il campo residuo dell'ideale primo [tex](x)[/tex], ossia il campo delle frazioni di [tex]k[y][/tex], i.e. [tex]k(y)[/tex].
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