Isomorfismo e gruppi quoziente
Ciao ragazzi, sto studiando algebra ma ho un po' difficoltà con questo esercizio. L'ho svolto in parte ma non so fare l'ultima parte.
Ecco la traccia:
Determinare i sottogruppi del gruppo quoziente G= Z/40Z.
Individuare il sottogruppo di ordine 4 rispetto al quale costruire il quoziente di G e poi verificare che tale quoziente di G è isomorfo a un quoziente di Z.
Grazie a tutti
Ecco la traccia:
Determinare i sottogruppi del gruppo quoziente G= Z/40Z.
Individuare il sottogruppo di ordine 4 rispetto al quale costruire il quoziente di G e poi verificare che tale quoziente di G è isomorfo a un quoziente di Z.
Grazie a tutti
Risposte
Un tuo tentativo? $G$ è un gruppo ciclico, cosa sai sui sottogruppi di un gruppo ciclico?
Io ho determinato tutti i sottogruppi di Z/40Z e ho esplicitato il sottogruppo 4Z/40Z ma non riesco a verificare l'ultima parte dell'esercizio in cui bisogna dimostrare che G/ 4Z/40 è isomorfo a un quoziente di Z.
Beh intanto il quoziente è un gruppo di ordine $10 = \frac{40}{4}$, sarebbe bellissimo se fosse isomorfo a $\mathbb{Z//10Z}$, che ne dici di vedere se esiste un elemento di ordine $10$ nel quoziente?
Avevo pensato potesse essere isomorfo a Z/10Z ma non ero sicura.
Ma l'elemento di ordine 10 non riesco a trovarlo
Ma l'elemento di ordine 10 non riesco a trovarlo
Chi sono gli elementi del quoziente? Riesci ad esplicitarli?
Intendi di Z/10Z?
intendo $G//H$ dove $G$ è il gruppo dell'esercizio e $H$ è il sottogruppo generato dall'elemento di ordine $4$
No non riesco proprio purtroppo...
"Nicole29":
Ciao ragazzi, sto studiando algebra ma ho un po' difficoltà con questo esercizio. L'ho svolto in parte ma non so fare l'ultima parte.
Ecco la traccia:
Determinare i sottogruppi del gruppo quoziente G= Z/40Z.
Individuare il sottogruppo di ordine 4 rispetto al quale costruire il quoziente di G e poi verificare che tale quoziente di G è isomorfo a un quoziente di Z.
Grazie a tutti
Riprendo questo esercizio per curiosità personale.
Andando con ordine, abbiamo $G=ZZ//40ZZ={0_40, 1_40, 2_40, 3_40, ..., 38_40, 39_40}$
Suppongo detto gruppo additivo.
Dobbiamo individuare un sottogruppo di ordine $4$ rispetto al quale costruire il quoziente di $G$.
Il primo (unico ?) sottogruppo di ordine $4$ che mi viene in mente è $H= \langle 10_40 \rangle = {0_40, 10_40, 20_40, 30_40}$.
Inoltre $G$ è ciclico, certamente generato da $1_40$, e pertanto ogni suo sottogruppo è normale in $G$.
Per quest'ultimo motivo posso considerare il gruppo quoziente $G//H$ che consta esattamente di $10$ elementi, ossia tutte le classi laterali di $H$ in $G$.
Mi resta di verificare che $G//H$ sia isomorfo ad un quoziente di $ZZ$.
La cosa più intuitiva è provare a vedere se è isomorfo a $ZZ//10ZZ$
In $ZZ//10ZZ$ ho tre generatori, che sono le classi minori di $10$ e prime con $10$, quindi sono $3_10, 7_10, 9_10$.
Mentre in $G//H$ ho la classe laterale $H3$ tale che $o \langle H3 \rangle = 10$. Cosi mi basta mandare $H3 \mapsto 3_10$ e dovrei aver ottenuto l'isomorfismo cercato:
$\phi:(G//H, +) \rightarrow (ZZ_10, +)$ tale che per ogni elemento di $G//H$, $\phi(Hn)=n_10 \in ZZ_10$.
Difatti il nucleo $Ker \phi$ consta del solo elemento identico di $G//H$ ossia $H0=H$.
Spero di non aver scritto castronerie.
Non hai scritto castronerie, il sottogruppo è unico perché il gruppo è ciclico.
La tua notazione per le classi laterali non l'ho mai vista.
Un altro modo è considerare il seguente omomorfismo $f : \mathbb{Z} \to G//H$ che manda $1$ in $H3$(o in un qualsiasi generatore di ordine $10$).
È chiaro che $10\mathbb{Z} \subset Ker(f)$, viceversa sia $x \in Ker(f)$, $f(x) = xH3 = H0$ e questo implica che $10|x$ e dunque $x \in 10\mathbb{Z}$. Dal primo teorema di omomorfismo si ha la tesi.
La tua notazione per le classi laterali non l'ho mai vista.
Un altro modo è considerare il seguente omomorfismo $f : \mathbb{Z} \to G//H$ che manda $1$ in $H3$(o in un qualsiasi generatore di ordine $10$).
È chiaro che $10\mathbb{Z} \subset Ker(f)$, viceversa sia $x \in Ker(f)$, $f(x) = xH3 = H0$ e questo implica che $10|x$ e dunque $x \in 10\mathbb{Z}$. Dal primo teorema di omomorfismo si ha la tesi.
"Shocker":
Non hai scritto castronerie, il sottogruppo è unico perché il gruppo è ciclico.
La tua notazione per le classi laterali non l'ho mai vista.
Un altro modo è considerare il seguente omomorfismo $f : \mathbb{Z} \to G//H$ che manda $1$ in $H3$(o in un qualsiasi generatore di ordine $10$).
È chiaro che $10\mathbb{Z} \subset Ker(f)$, viceversa sia $x \in Ker(f)$, $f(x) = xH3 = H0$ e questo implica che $10|x$ e dunque $x \in 10\mathbb{Z}$. Dal primo teorema di omomorfismo si ha la tesi.
ottimo ! grazie mille !!!
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