Isomorfismo di spazi vettoriali
Ho un esercizio in cui mi si chiede di trovare da [tex]A=\mathbb Q[x]/(x^3-3x^2+2x)[/tex] a [tex]B=\mathbb Q[x]/(2x^3-10x^2+25x+5)[/tex] un isomorfismo d'anelli e un isomorfismo di [tex]\mathbb Q[/tex]-spazi vettoriali.
Come anelli l'isomorfismo non esiste in quanto [tex]B[/tex] è un campo ([tex]2x^3-10x^2+25x+5[/tex] irriducibile per Eisenstein) mentre [tex]A[/tex] non lo è (infatti [tex]x^3-3x^2+2x=x(x-2)(x-1)[/tex]).
Come [tex]\mathbb Q[/tex]-spazi vettoriali invece cosa posso dire? Io so che se [tex]K[/tex] è un campo con un sottocampo [tex]L[/tex] allora [tex]K[/tex] è un [tex]L[/tex]-spazio vettoriale. Ma in questo caso l'anello non è un campo quindi non so come procedere. Sapreste darmi una mano?
Come anelli l'isomorfismo non esiste in quanto [tex]B[/tex] è un campo ([tex]2x^3-10x^2+25x+5[/tex] irriducibile per Eisenstein) mentre [tex]A[/tex] non lo è (infatti [tex]x^3-3x^2+2x=x(x-2)(x-1)[/tex]).
Come [tex]\mathbb Q[/tex]-spazi vettoriali invece cosa posso dire? Io so che se [tex]K[/tex] è un campo con un sottocampo [tex]L[/tex] allora [tex]K[/tex] è un [tex]L[/tex]-spazio vettoriale. Ma in questo caso l'anello non è un campo quindi non so come procedere. Sapreste darmi una mano?
Risposte
ma da [tex]A=\mathbb Q[x]/(x^3-3x^2+2x)[/tex] e [tex]B=\mathbb Q[x]/(2x^3-10x^2+25x+5)[/tex]
come saranno fatti secondo te [tex]$A,B$[/tex] ?
il fatto che siano spazi vettoriali non dipende dal tipo di polinomi, devi soltanto verificare degli assiomi, che si verificano a mano.
poi ne guardi la dimensione, et-voilà
come saranno fatti secondo te [tex]$A,B$[/tex] ?
il fatto che siano spazi vettoriali non dipende dal tipo di polinomi, devi soltanto verificare degli assiomi, che si verificano a mano.
poi ne guardi la dimensione, et-voilà
Il problema sta nel fatto che io ho sempre studiato casi in cui il quoziente era un campo.
So che gli elementi di [tex]B[/tex] sono della forma [tex]f+I[/tex] con [tex]I=(2x^3-10x^2+25x+5)[/tex]. Siccome [tex]B[/tex] è un campo so che per ogni classe d'equivalenza [tex]f+I[/tex] esiste ed è unica una scrittura in forma ridotta ovvero con un [tex]f[/tex] monico di grado minore di [tex]3[/tex]. Quindi gli elementi di [tex]B[/tex] sono tutti e soli quelli di forma ridotta e li posso scrivere come [tex]a\xi^2+b\xi+c[/tex] con [tex]a,b,c\in\mathbb Q[/tex] e [tex]\xi=x+I[/tex]. Quindi una base è [tex]1,\xi,\xi^2[/tex] ovvero [tex]B[/tex] è un [tex]\mathbb Q[/tex]-spazio vettoriale [tex]3[/tex]-dimensionale.
Con [tex]A[/tex] invece non so come lavorare. I suoi elementi saranno del tipo [tex]g+J[/tex] con [tex]J=(x(x-2)(x-1))[/tex]. Se il teorema di qui sopra vale anche se [tex]A[/tex] non è un campo, [tex]A[/tex] sarà anche lui un [tex]\mathbb Q[/tex]-spazio vettoriale [tex]3[/tex]-dimensionale.
Il problema è che non so se esiste sempre ed è unica la forma ridotta anche per [tex]A[/tex] generico anello.
EDIT: Oddio, ora che ci penso forse l'ipotesi di [tex]A[/tex] campo me la sono sognata. Correggetemi se sbaglio.
So che gli elementi di [tex]B[/tex] sono della forma [tex]f+I[/tex] con [tex]I=(2x^3-10x^2+25x+5)[/tex]. Siccome [tex]B[/tex] è un campo so che per ogni classe d'equivalenza [tex]f+I[/tex] esiste ed è unica una scrittura in forma ridotta ovvero con un [tex]f[/tex] monico di grado minore di [tex]3[/tex]. Quindi gli elementi di [tex]B[/tex] sono tutti e soli quelli di forma ridotta e li posso scrivere come [tex]a\xi^2+b\xi+c[/tex] con [tex]a,b,c\in\mathbb Q[/tex] e [tex]\xi=x+I[/tex]. Quindi una base è [tex]1,\xi,\xi^2[/tex] ovvero [tex]B[/tex] è un [tex]\mathbb Q[/tex]-spazio vettoriale [tex]3[/tex]-dimensionale.
Con [tex]A[/tex] invece non so come lavorare. I suoi elementi saranno del tipo [tex]g+J[/tex] con [tex]J=(x(x-2)(x-1))[/tex]. Se il teorema di qui sopra vale anche se [tex]A[/tex] non è un campo, [tex]A[/tex] sarà anche lui un [tex]\mathbb Q[/tex]-spazio vettoriale [tex]3[/tex]-dimensionale.
Il problema è che non so se esiste sempre ed è unica la forma ridotta anche per [tex]A[/tex] generico anello.
EDIT: Oddio, ora che ci penso forse l'ipotesi di [tex]A[/tex] campo me la sono sognata. Correggetemi se sbaglio.
le cose si dimostrano, non si ricordano 
pensaci no? l' ipotesi che sia un campo non serve a molto, quello che ti serve funziona comunque.
poi però devi osservare che spazi vettoriali su $K$ di uguale dimensione sono isomorfi.
pensaci no? l' ipotesi che sia un campo non serve a molto, quello che ti serve funziona comunque.
poi però devi osservare che spazi vettoriali su $K$ di uguale dimensione sono isomorfi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo